Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，AB=1，∠ABC是銳角．點E在CD上，且AE⊥EB，設∠ABE=x，∠EBC=y．則sin（x+y）=________．（用x、y的三角函數(shù)表示）

Answer 1

sinx•cosy+cosx•siny
分析：過點A作AH⊥BC交BC于H，則可求出sin（x+y）=DC，由已知條件再依次表示出sinx，cosx，siny，cosy．因為∠AEB=90°，∠C=∠D=90°所以可判定△ADE∽△EBC，有相似的性質(zhì)可得∴，結合以求出的條件可得問題答案．
解答：解：過點A作AH⊥BC交BC于H，
∵∠C=∠D=90°，
∴四邊形AHCD是矩形，
∴AH=DC．
在Rt△AHB中，sin∠ABH=，AB=1，
∴sin（x+y）=AH=DC．
在Rt△EBC中，siny=，cosy=，
∵AE⊥EB，
∴∠AEB=90°．
∴∠AED+∠BEC=90°．
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠BEC．
∴△ADE∽△EBC．
∴
∴AE•BC=DE•BE．
∵在Rt△AEB中，sinx==AE，cosx==BE．
∴sinxcosy=•=．
∴cosx•siny=BE•=CE．
∴sinxcosy+cosx•siny=+CE．
=+CE．
=DE+CE=DC．
∴sin（x+y）=sinxcosy+cosx•siny．
故答案為：sinxcosy+cosx•siny．
點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定以及銳角三角函數(shù)的定義，解決此類題目的關鍵是作高線構造直角三角形．