Question

如圖，平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y=

3

3

x+2

3

與x軸、y軸分別交于點A、B，直線BC垂直于直線AB，交x軸于點C，點D從A點出發(fā)，以每秒3個單位向終點原點運動；與此同時點Q從點C出發(fā)，以每秒2個單位沿著射線BC方向運動，設運動時間為t秒，點D到達終點時都停止運動．
（1）求直線BC的解析式；
（2）作DP垂直x軸交直線AB于點P，連結PQ交x軸于E點，取EQ的中點M，過M點作EQ的垂線交y軸于點N，求線段0N的長；
（3）作出點N關于直線PQ的對稱點F，連結PF交BC于點H，在P、Q的運動過程中，是否存在△PEH是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：探究型

分析：（1）求得BC的坐標，再利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式；
（2）先求得△PGE≌△QCE，得到△N′QE是等邊△，連接N′M，進一步得N′M是EQ的中位線，即N′就是N，再連接BE，有BE=EQ，BE=EN，ON=OB，即線段ON的長為2

3

；
（3）分兩種情況：一、即E和O重合．此時t=1；二、求得PH直線的斜率為-

a 3

6

．進一步求得此時t=

4

3

．

解答：解：（1）在y=

3

3

x+2

3

中令x=0，解得：y=2

3

，則B的坐標是：（0，2

3

），令y=0解得：x=3，則A的坐標是：（-3，0）．
則OA=3，OB=2

3

，
∵tan∠BAC=tan∠OBC=

3

3

=

OC

OB

，
∴OC=2，
∴C的坐標是（2，0），
設直線BC的解析式是：y=kx+b，則

b=2 3 2k+b=0

，
解得：

k=- 3 b=2 3

，
則BC的解析式是：y=-

3

x+2

3

；
（2）作PG∥BC，交AC于G，則

PG=2DG，AG=2PG，
∴AD=AG-DG=4DG-DG=3DG．
∴AD：PG=3DG：2DG=3：2．
而AD：CQ=3：2，
∴PG=CQ．再由PG∥CQ，
∴△PGE∽△QCE．
∴△PGE≌△QCE，即PE=EQ．
過直角△BQP作外接圓I，設圓I與y軸相交于點N，′
則∠PN′Q=90°，∠N′QP=∠PBN′=60°．
∴△N′QE是等邊△，連接N′M，
∵M是EQ中點，
∴N′M是EQ的中位線，即N′就是N，再連接BE，有BE=EQ，
∴BE=EN，
∴ON=OB，即線段ON的長為2

3

；
（3）由（2）易知△NPF是等邊△，∠EPH=∠EPN=30^°，

若∠PEH=90°，則P、B、H、E四點共圓，
∴∠HBE=∠HPE=30°，即E和O重合．
即PO=QO=BO=2

3

，即P是AB中點．
∴D是AO中點，即|AO|=3．
此時t=1；
若∠PHE=90°，∵∠EPH=30°，
∴∠HEP=∠NEQ=60°．
∴N，E，H三點共線．
設點E坐標為（a，0），則NE直線方程為y=

2 3 x

a

-2

3

，
結合BC直線方程y=-

3

x+2

3

，可得
點H坐標為(

4a

2+a

，

2 3 (2-a)

2+a

)，
又∵|OE|=a，
∴|CE|=2-a，|CG|=2|CE|=4-2a，
∴|AG|=|AC|-|CG|=8-4+2a=4+2a．
∴|AD|=3|AG|/4=3+

3a

2

．
∴點D的坐標為（

3a

2

-3，0）．
則點P的坐標為（

3a

2

-3，

3 a

2

+

3

）．
由HP兩點坐標即可得PH直線的斜率

3 a 2 + 3 - 2 3 (2-a) 2+a

3a 2 -3- 4a 2+a

，
又∵PH⊥NH，直線NH斜率為

2 3

a

，
∴PH直線的斜率為-

a 3

6

．
即

3 a 2 + 3 - 2 3 (2-a) 2+a

3a 2 -3- 4a 2+a

=-

a 3

6

．
化簡得（a²+12）（3a-2）=0
∴a=

2

3

，即|AD|=3+

3a

2

=4，
∴此時t=

4

3

．
綜上知，僅當t=1或

4

3

時，△PEH是直角三角形．

點評：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應用，綜合性強，難度較大．