(2007•襄陽(yáng))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)C(0,4)為圓心,半徑為4的圓交y軸正半軸于點(diǎn)A,AB是⊙C的切線.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從O點(diǎn)開(kāi)始沿x軸正方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),且動(dòng)點(diǎn)P、Q從點(diǎn)A和點(diǎn)O同時(shí)出發(fā),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).
(1)當(dāng)t=1時(shí),得到P1、Q1兩點(diǎn),求經(jīng)過(guò)A、P1、Q1三點(diǎn)的拋物線解析式及對(duì)稱軸l;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),直線PQ與⊙C相切并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,拋物線對(duì)稱軸l上存在一點(diǎn)N,使NP+NQ最小,求出點(diǎn)N的坐標(biāo)并說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)先求出t=1時(shí),AP和OQ的長(zhǎng),即可求得P1,Q1的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法即可得出拋物線的解析式.進(jìn)而可求出對(duì)稱軸l的解析式.
(2)當(dāng)直線PQ與圓C相切時(shí),連接CP,CQ則有Rt△CMP∽R(shí)t△QMC(M為PG與圓的切點(diǎn)),因此可設(shè)當(dāng)t=a秒時(shí),PQ與圓相切,然后用a表示出AP,OQ的長(zhǎng)即PM,QM的長(zhǎng)(切線長(zhǎng)定理).由此可求出a的值.
(3)本題的關(guān)鍵是確定N的位置,先找出與P點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)P′的坐標(biāo),連接P′Q,那么P′Q與直線l的交點(diǎn)即為所求的N點(diǎn),可先求出直線P′Q的解析式,進(jìn)而可求出N點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)由題意得A、P1、Q1的坐標(biāo)分別為A(0,8)、P1(1,8)、Q1(4,0)(1分)
設(shè)所求拋物線解析式為y=ax2+bx+c

∴a=-,b=,c=8
∴所求拋物線為y=-x2++8
對(duì)稱軸為直線l:x=

(2)設(shè)t=a時(shí),PQ與⊙C相切于點(diǎn)M
連接CP、CM、CQ,則PA=PM=a,QO=QM=4a
又∵CP、CQ分別平分∠APQ和∠OQP,
而∠APQ+∠OQP=180°
∴∠PCQ=90°
∴PC⊥CQ
∴Rt△CMP∽R(shí)t△QMC

∴a=±2
由于時(shí)間a只能取正數(shù),
所以a=2
即當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=2時(shí),PQ與⊙C相切
此時(shí):P(2,8),Q(8,0);

(3)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P(-1,8)
則直線PQ的解析式為:y=
當(dāng)x=時(shí),y=-×+==
因此N點(diǎn)的坐標(biāo)為(,).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理等知識(shí)點(diǎn).
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(1)當(dāng)t=1時(shí),得到P1、Q1兩點(diǎn),求經(jīng)過(guò)A、P1、Q1三點(diǎn)的拋物線解析式及對(duì)稱軸l;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),直線PQ與⊙C相切并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,拋物線對(duì)稱軸l上存在一點(diǎn)N,使NP+NQ最小,求出點(diǎn)N的坐標(biāo)并說(shuō)明理由.

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(1)當(dāng)t=1時(shí),得到P1、Q1兩點(diǎn),求經(jīng)過(guò)A、P1、Q1三點(diǎn)的拋物線解析式及對(duì)稱軸l;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),直線PQ與⊙C相切并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,拋物線對(duì)稱軸l上存在一點(diǎn)N,使NP+NQ最小,求出點(diǎn)N的坐標(biāo)并說(shuō)明理由.

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(3)在(2)的條件下,拋物線對(duì)稱軸l上存在一點(diǎn)N,使NP+NQ最小,求出點(diǎn)N的坐標(biāo)并說(shuō)明理由.

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