Question

如圖：直線y=kx+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，tan∠OAB=，點(diǎn)C（x，y）是直線y=kx+3上與A、B不重合的動點(diǎn)．
（1）求直線y=kx+3的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到什么位置時△AOC的面積是6；
（3）過點(diǎn)C的另一直線CD與y軸相交于D點(diǎn)，是否存在點(diǎn)C使△BCD與△AOB全等？若存在，請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線y=kx+3與y軸分別交于B點(diǎn)，以及tan∠OAB=，即可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)△AOC的面積是6，得出三角形的高，即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）利用△BCD與△AOB全等，利用C點(diǎn)不同位置，得出3種不同圖形，進(jìn)而利用相似，得出C點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵直線y=kx+3與y軸分別交于B點(diǎn)，
∴B（0，3），
∵tan∠OAB=，
∴OA=4，
∴A（4，0），
∵直線y=kx+3過A（4，0），
∴4k+3=0，
∴k=-，
∴直線的解析式為：y=-x+3；

（2）∵A（4，0），
∴AO=4，
∵△AOC的面積是6，
∴△AOC的高為：3，
∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，
∵直線的解析式為：y=-x+3，
∴3=-x+3，
x=0，
∴點(diǎn)C運(yùn)動到B點(diǎn)時，△AOC的面積是6（C是與A、B不重合的動點(diǎn)，所以不符合題意）；
當(dāng)C點(diǎn)移動到x軸下方時，作CE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵△AOC的面積是6，
∴EC×AO=6，
解得：EC=3，
∴C點(diǎn)縱坐標(biāo)為：-3，
∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)為：-3=-x+3，
∴x=8，
∴點(diǎn)C點(diǎn)坐標(biāo)為（8，-3）時，△AOC的面積是6；

（3）當(dāng)過點(diǎn)C的另一直線CD與y軸相交于D點(diǎn)，
且CD⊥y軸于點(diǎn)D時，BD=BO=3，△BCD與△BAO全等，
∴C點(diǎn)縱坐標(biāo)為6，
∴6=-x+3，
解得：x=-4，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-4，6）．
當(dāng)過點(diǎn)D作DC⊥AB于點(diǎn)C，作CF⊥x軸，
當(dāng)CB=3，BD=5，△BCD與△BOA全等，
∴BO∥CF，
∴==，
∴==，
解得：FO=，CF=，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-，）．
當(dāng)D′C′⊥AB，過點(diǎn)C′作C′M⊥OA，
∴BC′=3，
∴AC′=2，
∵C′M∥BO，
∴==，
∴==，
∴C′M=，AM=
∴MO=，
∴C′點(diǎn)坐標(biāo)為：（，）．
綜上所述：C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-4，6），（-，），（，）．
點(diǎn)評：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及全等三角形的判定等知識，根據(jù)已知利用圖象上點(diǎn)的性質(zhì)得出是解決問題的關(guān)鍵．