Question

已知方程a（2x+a）=x（1-x）的兩個實數根為x₁，x₂，設．
（1）當a=-2時，求S的值；
（2）當a取什么整數時，S的值為1；
（3）是否存在負數a，使S²的值不小于25？若存在，請求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當a=-2時，原方程化為x²-5x+4=0．
解得x₁=4，x₂=1．
∴S=2+1=3．
（2）S=+，s²=x₁+x₂+2．
∴a（2x+a）=x（1-x）．
整理得：x²+（2a-1）x+a²=0．
當x²+（2a-1）x+a²=0時△≥0．
∴（2a-1）²-4a²≥0．
解得a≤0.25．
∵x₁+x₂=1-2a，x₁×x₂=a²．
S²=x₁+x₂+2=1-2a+2|a|=1．
當a≥0，1-2a+2a=1，有1=1．
當a＜0時，1-2a-2a=1，有a=0（不合設定，舍去）．
當0≤a≤0.25時，S的值為1．
∵a為整數，
∴a=0時，S的值為1．
（3）S²=x₁+x₂+2=1-2a+2|a|≥25．
∴只有當a＜0時，有1-2a-2a≥25．
解得a≤-6．
∴a≤-6時，S²的值不小于25．
分析：（1）把a=-2代入方程，求得方程的兩根，進而求得S的值．
（2）S的值為1，則方程一定有兩根非負的實數，即△≥0，且兩根的和大于0，兩根的積大于或等于0，根據一元二次方程根與系數的關系即可得到關于a的不等式，從而求得a的范圍，再根據S的值為1，即S²=x₁+x₂+2=1-2a+2|a|=1．即可確定a的值；
（3）S²的值不小于25，即S²=x₁+x₂+2=1-2a+2|a|≥25．結合（2）中求得的a的范圍，即可求得a的取值范圍．
點評：本題主要考查了一元二次方程的根與系數的關系，（2）（3）求a的值或a的取值范圍，都是依據S²=x₁+x₂+2=1-2a+2|a|轉化為方程或不等式問題．