如圖,在⊙O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P,AC=AB,點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)(不與A、B兩點(diǎn)重合),過點(diǎn)C作直線PB的垂線CD交PB于D點(diǎn).

(1)如圖1,求證:△PCD∽△ABC;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△PCD≌△ABC?請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出△PCD并說明理由;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CP⊥AB時(shí),求∠BCD的度數(shù).
【答案】分析:(1)由AB是⊙O的直徑,根據(jù)直徑對(duì)的圓周角是直角,即可得∠ACB=90°,又由PD⊥CD,可得∠D=∠ACB,又由在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,即可得∠A=∠P,根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似,即可判定:△PCD∽△ABC;
(2)由△PCD∽△ABC,可知當(dāng)PC=AB時(shí),△PCD≌△ABC,利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得;
(3)由∠ACB=90°,AC=AB,可求得∠ABC的度數(shù),然后利用相似,即可得∠PCD的度數(shù),又由垂徑定理,求得=,然后利用圓周角定理求得∠ACP的度數(shù),繼而求得答案.
解答:(1)證明:∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∵PD⊥CD,
∴∠D=90°,
∴∠D=∠ACB,
∵∠A與∠P是對(duì)的圓周角,
∴∠A=∠P,
∴△PCD∽△ABC;

(2)解:當(dāng)PC是⊙O的直徑時(shí),△PCD≌△ABC,
理由:∵AB,PC是⊙O的直徑,
∴∠PBC=∠ACB=90°,AB=PC,
∵∠A=∠P
∴△PCD≌△ABC;

(3)解:∵∠ACB=90°,AC=AB,
∴∠ABC=30°,
∵△PCD∽△ABC,
∴∠PCD=∠ABC=30°,
∵CP⊥AB,AB是⊙O的直徑,
=,
∴∠ACP=∠ABC=30°,
∴∠BCD=∠ACB-∠ACP-∠PCD=90°-30°-30°=30°.
點(diǎn)評(píng):此題考查了圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí).此題綜合性較強(qiáng),難度適中,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

26、如圖所示,一輛汽車在直線形的公路AB上由A向B行駛,M,N分別是位于公路AB兩側(cè)的村莊,設(shè)汽車行駛到P點(diǎn)位置時(shí),離村莊M最近,行駛到Q點(diǎn)位置時(shí),離村莊N最近,請(qǐng)你在AB上分別畫出P,Q兩點(diǎn)的位置.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

6、如圖,一輛汽車在直線形的公路AB上由A向B行駛,M,N分別是位于公路AB兩側(cè)的村莊.
(1)設(shè)汽車行駛到公路AB上點(diǎn)P位置時(shí),距離村莊M最近;行駛到點(diǎn)Q位置時(shí),距離村莊N最近.請(qǐng)?jiān)趫D中的公路AB上分別畫出點(diǎn)P,Q的位置(保留畫圖痕跡).
(2)當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí),在公路AB的哪一段路上距離M,N兩村莊都越來越近在哪一段路上距離村莊N越來越近,而離村莊M卻越來越遠(yuǎn)(分別用文字表述你的結(jié)論,不必證明)
(3)到在公路AB上是否存在這樣一點(diǎn)H,使汽車行駛到該點(diǎn)時(shí),與村莊M,N的距離相等如果存在,請(qǐng)?jiān)趫D中的AB上畫出這一一點(diǎn)(保留畫圖痕跡,不必證明);如果不存在,請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由.

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(1)如圖A、B兩個(gè)化工廠位于一段直線形河堤的同側(cè),A工廠至河堤的距離AC為1km,B工廠到河堤的距離BD為2km,經(jīng)測(cè)量河堤上C、D兩地間的距離為6km.現(xiàn)準(zhǔn)備在河堤邊修建一個(gè)污水處理廠,為使A、B兩廠到污水處理廠的排污管道最短,污水處理廠應(yīng)建在距C地多遠(yuǎn)的地方?
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(2)通過以上解答,充分展開聯(lián)想,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)造圖形,嘗試解決下面問題:若y=
x2+1
+
(9-x)2+4
,當(dāng)x為何值時(shí),y的值最小,并求出這個(gè)最小值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,一輛汽車在直線形公路AB上由A向B行駛,M,N是分別位于公路AB兩側(cè)的兩所學(xué)校.
(1)汽車在公路上行駛時(shí),噪聲會(huì)對(duì)兩所學(xué)校教學(xué)都造成影響,當(dāng)汽車行駛到何處時(shí),分別對(duì)兩所學(xué)校影響最大?請(qǐng)?jiān)趫D上標(biāo)出來.
(2)當(dāng)汽車從A向B行駛時(shí),在哪一段上對(duì)兩學(xué)校影響越來越大?在哪一段上對(duì)兩學(xué)校影響越來越?在哪一段上對(duì)M學(xué)校影響逐漸減小而對(duì)N學(xué)校影響逐漸增大?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,一輛汽車在直線形公路AB上由A向B行駛,M,N分別是位于公路兩側(cè)的村莊.行駛到點(diǎn)Q位置時(shí),距離村莊M,N的路程之和最短,請(qǐng)你在圖中的公路AB上畫出點(diǎn)Q的位置(保留作圖痕跡,并用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說明理由).

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