Question

16．如圖，在△ABC中，AC=BC=5cm，AB=6cm，CD⊥AB于點D．動點P、Q同時從點C出發(fā)，點P沿線CD做依次勻速往返運動，回到點C停止；點Q沿折線CA-AD向終點D做勻速運動；點P、Q運動的速度都是5cm/s．過點P作PE∥BC，交AB于點E，連結(jié)PQ．當(dāng)點P、E不重合點P、Q不重合時，以線段PE∥BC，交AB于點E，連結(jié)PQ．當(dāng)點P、E不重合且點P、Q不重合時，以線段PE、PQ為一組鄰邊作?PEFQ．設(shè)點P運動的時間為t（s），?PEFQ與△ABC重疊部分的面積為S（cm²）．
（1）用含t的代數(shù)式表示線段PE的長．
（2）當(dāng)點F在線段AB上時，求t的值．
（3）當(dāng)點Q在線段AB上運動時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）在整個運動過程中，當(dāng)?PEFQ為矩形時，直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)0＜t＜$\frac{4}{5}$時；②當(dāng)$\frac{4}{5}$＜t≤$\frac{8}{5}$時；然后根據(jù)PE∥BC，可得$\frac{PE}{BC}=\frac{PD}{CD}$，據(jù)此用含t的代數(shù)式表示線段PE的長即可．
（2）首先用含t的代數(shù)式表示出QF、QA，然后根據(jù)QA=QF，求出t的值是多少即可．
（3）首先作PM⊥BC于點M，作QN⊥BC于點N，設(shè)?PEFQ的高為h，分別用含t的代數(shù)式表示出PM、QN，進(jìn)而用含t的代數(shù)式表示出h；然后根據(jù)三角形的面積的求法，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式即可．
（4）當(dāng)?PEFQ為矩形時，推得∠DQP=∠BCD，然后根據(jù)tan∠DQP=tan∠BCD=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{3}{4}$，可得$\frac{PD}{QD}=\frac{5t-4}{8-5t}=\frac{3}{4}$，據(jù)此求出t的值是多少即可．

解答 解：（1）∵AC=BC=5cm，CD⊥AB于點D，
∴點D是AB的中點，AD=6÷2=3（cm），
∵AC=5cm，
∴CD=$\sqrt{{AC}^{2}{-AD}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}{-3}^{2}}=4$（cm）．
①當(dāng)0＜t＜$\frac{4}{5}$時，如圖1，

∵PC=5t，
∴PD=CD-PC=4-5t，
∵PE∥BC，
∴$\frac{PE}{BC}=\frac{PD}{CD}$，
∴PE=$\frac{BC•PD}{CD}=\frac{5}{4}PD$=$\frac{5}{4}$（4-5t）=5-$\frac{25}{4}$t．

②當(dāng)$\frac{4}{5}$＜t≤$\frac{8}{5}$時，如圖2，
，
PD=5t-4，
∵PE∥BC，
∴$\frac{PE}{BC}=\frac{PD}{CD}$，
∴PE=$\frac{BC•PD}{CD}=\frac{5}{4}PD$=$\frac{5}{4}$（5t-4）=$\frac{25}{4}$t-5．
綜上，可得
PE=$\left\{\begin{array}{l}{5-\frac{25}{4}t，0＜t＜\frac{4}{5}}\\{\frac{25}{4}t-5，\frac{4}{5}＜t≤\frac{8}{5}}\end{array}\right.$．

（2）如圖3，

QF=PE=$\frac{25}{4}$t-5
∵CQ=5t，
∴QA=AC-CQ=5-5t，
∵PE∥BC，PE∥QF，
∴QF∥BC，
∴$\frac{QA}{AC}=\frac{QF}{BC}$，
∵AC=BC，
∴QA=QF，
∴5-5t=$\frac{25}{4}$t-5，
解得t=$\frac{8}{9}$．

（3）如圖4，作PM⊥BC于點M，作QN⊥BC于點N，

設(shè)?PEFQ的高為h，
∵sin∠PCM=$\frac{BD}{BC}=\frac{3}{5}$，
∴PM=PC•sin∠PCM=（8-5t）×$\frac{3}{5}$=$\frac{24}{5}$-3t，
∵sin∠QBN=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{4}{5}$，
∴QN=BQ•sin∠QBN=[6-（5t-5）]×$\frac{4}{5}$=$\frac{44}{5}$-4t，
∴h=QN-PM=（$\frac{44}{5}$-4t）-（$\frac{24}{5}$-3t）=4-t，
∴S=$\frac{1}{2}PE•h$=$\frac{1}{2}×$（$\frac{25}{4}$t-5）×（4-t）=-$\frac{25}{8}$t²+15t-10．

（4）如圖5，當(dāng)?PEFQ為矩形時，

PD=5t-4，QD=8-5t，
∵?PEFQ為矩形，
∴∠DQP+∠DEP=90°，
∵∠B+BCD=90°，∠DEP=∠B，
∴∠DQP=∠BCD，
∴tan∠DQP=tan∠BCD=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{PD}{QD}=\frac{5t-4}{8-5t}=\frac{3}{4}$，
解得t=$\frac{8}{7}$．

點評 （1）此題主要考查了相似形綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了函數(shù)關(guān)系式的求法、矩形的性質(zhì)和應(yīng)用、三角函數(shù)的應(yīng)用、三角形的面積的求法，要熟練掌握．