Question

如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，點(diǎn)E、F分別在AB、AC的延長線上．EF交⊙O于點(diǎn)M、N，交AD于點(diǎn)H，H是OD的中點(diǎn)，=，EH-HF=2．設(shè)∠ACB=a ，tana =，EH和HF是方程x²-(k+2)x+4k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

(1)求EH和HF的長；

(2)求BC的長．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)依題意，及一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系， 得D=[-(k+2)]2-4×4k＞0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、� EH+HF=k+2，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ② EH·HF=4k＞0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③ 又EH-HF=2．　　 ④　 由②、③、④得k=12． 當(dāng)k=12時(shí)，①成立，把k=12代入原方程解得x1=8，x2=6． ∴　EH=8，HF=6． (2)連結(jié)BD．∴　∠ADB=∠a． ∵　， ∴　AD⊥EF，即∠AHE=∠AHF=90°． ∴　∠E=∠ADB=∠a． 在Rt△AEH中，tanE= =tana=， 又EH=8，∴　AH=6． 由勾股定理，得AE=10，AF=． ∵　tanADB= =tana=． 設(shè)AB=3 m，則BD=4 m． ∴　AD=5 m． ∵　H是OD的中點(diǎn)，∴　AD=8，AB=． ∵　∠E=∠a，∠BAC=∠FAE， ∴　△ABC∽△AFE．∴　． ∴　BC=．