Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，CB=8，AD是△ABC的角平分線，過A，D，C三點的圓與斜邊AB交于點E，連接DE．
（1）求證：AC=AE；
（2）求△ACD外接圓的直徑．

Answer 1

考點：三角形的外接圓與外心,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）先根據(jù)：∠ACB=90°得出AD為⊙O的直徑故可得出∠ACB=∠AED．再由AD是△ABC中∠BAC的平分線可知∠CAD=∠EAD，由HL定理得出△ACD≌△AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知AC=AE；
（2）先根據(jù)勾股定理求出AB的長，設(shè)CD=DE=x，則DB=BC-CD=8-x，EB=AB-AE=10-6=4，在Rt△BED中，根據(jù)勾股定理得出x的值，再由△ACD是直角三角形即可得出AD的長．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，且∠ACB為⊙O的圓周角，
∴AD為⊙O的直徑，
∴∠AED=90°，
∴∠ACB=∠AED．
∵AD是△ABC中∠BAC的平分線，
∴∠CAD=∠EAD，
∴CD=DE，
在Rt△ACD與Rt△AED中，

AD=AD CD=ED

，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC=AE；

（2）∵△ABC是直角三角形，且AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=

62+82

=10，
∵由（1）得，∠AED=90°，
∴∠BED=90°．
設(shè)CD=DE=x，則DB=BC-CD=8-x，EB=AB-AE=10-6=4，
在Rt△BED中，根據(jù)勾股定理得，BE²=BE²+ED²，即（8-x）²=x²+4²，解得x=3，
∴CD=3，
∵AC=6，△ACD是直角三角形，
∴AD²=AC²+CD²=6²+3²=45，
∴AD=3

5

．

點評：本題考查的是三角形的外接圓與外心，熟知直徑所對的圓周角是直角是解答此題的關(guān)鍵．