Question

已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=3，BC=4．若P為線段AB上任意一點，延長PD到E，使DE=2PD，再以PE、PC為邊作?PCQE，求對角線PQ的最小值

 

．

Answer 1

考點：梯形,平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：設(shè)PQ與DC相交于點G，PE∥CQ，PD=DE，可得

DG

GC

=

PD

CQ

=

1

3

，易證得Rt△ADP∽Rt△HCQ，繼而求得BH的長，即可求得答案；

解答：解：設(shè)PQ與DC相交于點G，
∵PE∥CQ，PD=DE，
∴

DG

GC

=

PD

CQ

=

1

3

，
∴G是DC上一定點，
作QH⊥BC，交BC的延長線于H，
同理可證∠ADP=∠QCH，
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，
即

AD

CH

=

PD

CQ

=

1

3

，
∴CH=3，
∴BH=BC+CH=4+3=7，
∴當(dāng)PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為7．

點評：考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．