Question

16．請同學們仔細閱讀以下內(nèi)容：
數(shù)學課上，老師向同學們介紹了直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是邊AB的中點，則CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB．
請同學們借助以上知識點探究下面問題：
如圖2，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF繞著邊AB的中點D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交線段AC于點M，K．
（1）觀察：①如圖3、圖4，當∠CDF=0°或60°時，AM+CK=MK（填“＞”，“＜”或“=”）．
②如圖5，當∠CDF=30° 時，AM+CK＞MK（只填“＞”或“＜”）．
（2）猜想：如圖1，當0°＜∠CDF＜60°時，若點G是點A關(guān)于直線DE的對稱點，則AM+CK＞MK，證明你所得到的結(jié)論．
（3）如果MK²+CK²=AM²，請直接寫出∠CDF的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先證明△CDA是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明AM+CK=MK；在△MKD中，AM+CK＞MK（兩邊之和大于第三邊）；
（2）作點C關(guān)于FD的對稱點G，連接GK，GM，GD．證明△ADM≌△GDM后，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得GM=AM，GM+GK＞MK，從而得到AM+CK＞MK；
（3）根據(jù)勾股定理的逆定理求得∠GKM=90°，又由點C關(guān)于FD的對稱點G，得到∠CKG=90°，∠FKC=$\frac{1}{2}$∠CKG=45°，根據(jù)三角形的外角定理，就可以求得∠CDF=15°．

解答 解：（1）①在Rt△ABC中，D是AB的中點，
∴AD=BD=CD=$\frac{1}{2}$AB，∠B=∠BDC=60°
又∵∠A=30°，
∴∠ACD=60°-30°=30°，
又∵∠CDE=60°，或∠CDF=60°時，
∴∠CKD=90°，
∴在△CDA中，AM（K）=CM（K），即AM（K）=KM（C）（等腰三角形底邊上的垂線與中線重合），
∵CK=0，或AM=0，
∴AM+CK=MK；
②由①，得
∠ACD=30°，∠CDB=60°，
又∵∠A=30°，∠CDF=30°，∠EDF=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=MD，CK=KD，
∴AM+CK=MD+KD，
∴在△MKD中，AM+CK＞MK（兩邊之和大于第三邊），
故答案為：①=；②＞；
（2）＞，
證明：連接GK，

∵點G是點A關(guān)于直線DE的對稱點
∴AD=GD，GM=AM，∠GDM=∠ADM，
∵Rt△ABC 中，D是AB的中點，
∴AD=CD=GD．
∵∠A=∠E=30°，
∴∠CDA=120°，∠EDF=60°，
∴∠GDM+∠GDK=60°，∠ADM+∠CDK=60°，
∴∠GDK=∠CDK，
在△GDK和△CDK中，
$\left\{\begin{array}{l}GD=CD\\∠GDK=∠CDK\\ DK=DK\end{array}\right.$，
∴△GDK≌△CDK，
∴GK=CK，
∵GM+GK＞MK，
∴AM+CK＞MK；
（3）∠CDF=15°，
由（2），得GM=AM，GK=CK，
∵MK²+CK²=AM²，
∴MK²+GK²=GM²，
∴∠GKM=90°，
又∵點C關(guān)于FD的對稱點G，
∴∠CKG=90°，∠FKC=$\frac{1}{2}$∠CKG=45°，
又∵由（1），得∠A=∠ACD=30°，
∴∠FKC=∠CDF+∠ACD，
∴∠CDF=∠FKC-∠ACD=15°．

點評 本題綜合考查了全等三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)、軸對稱圖形的性質(zhì)以及三角形的兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)．