Question

如圖所示，有四個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q，E，F(xiàn)分別從面積為4的正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C，D同時(shí)出發(fā)，沿著AB，BC，CD，DA以同樣的速度向B，C，D，A移動(dòng)．

(1)證明四邊形PQEF是正方形；

(2)PE是否總過某一定點(diǎn)？說明理由；

(3)四邊形PQEF的頂點(diǎn)位于何處，其面積是否有最小值？最小值是多少？

Answer 1

答案：
解析：

(1)證△PAF≌△QBP≌△ECQ≌△FDE即可． 　　(2)PE總經(jīng)過AC的中點(diǎn)，連結(jié)AC，PE，設(shè)PE與AC相交于點(diǎn)O，則△APO≌△CEO．故AO＝CO． 　　故O是正方形ABCO的中心，∴PE過一定點(diǎn)． 　　(3)當(dāng)四邊形PQEF的頂點(diǎn)位于各邊中點(diǎn)時(shí)，其面積最小，最小面積為2． 　　設(shè)AF＝PB＝CQ＝DE＝x，則AP＝BQ＝CE＝DF＝2－x． 　　則四邊形PQEF的面積S可用x2＋(2－x)2表示． 　　即S＝2x2－4x＋4＝2(x－1)2＋2，故當(dāng)x＝1時(shí)，面積有最小值為2．