Question

（2013•濟(jì)南）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6，0），點(diǎn)C在第一象限內(nèi)且△OBC為等邊三角形，直線BC交y軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作直線AE⊥BD，垂足為E，交OC于點(diǎn)F．
（1）求直線BD的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求線段OF的長(zhǎng)；
（3）連接BF，OE，試判斷線段BF和OE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△OBC是等邊三角形，可得∠OBC=60°，在Rt△PBD中，解得OD的長(zhǎng)度，得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式即可；
（2）分別求出∠BAE和∠AFO的度數(shù)，即可得出OF=OA=2．
（3）在Rt△ABE中，先求出BE，繼而得出CE=OF，證明△COE≌△OBF，可得BF和OE的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：（1）∵△OBC是等邊三角形，
∴∠OBC=60°，OC=BC=0B，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），
∴OB=6，
在Rt△OBD中，∠OBC=60°，OB=6，
∴∠ODB=30°，
∴BD=12，
∴OD=

122-62

=6

3

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，6

3

），
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，則可得

6k+b=0 b=6 3

，
解得：

k=- 3 b=6 3

，
∴直線BD的函數(shù)解析式為y=-

3

x+6

3

．
（2）∵∠OCB=60°，∠CEF=90°，
∴∠CFE=30°，
∴∠AFO=30°（對(duì)頂角相等），
又∵∠OBC=60°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°，
∴∠BAE=∠AFO，
∴OF=OA=2．
（3）連接BF，OE，如圖所示：
∵A（-2，0），B（6，0），
∴AB=8，
在Rt△ABE中，∠ABE=60°，AB=8，
∴BE=ABcos∠ABE=4，
∴CE=BC-BE=2，
∴OF=CE=2，
在△COE和△OBF中，

CE=OF ∠OCE=∠BOF=60° CO=OB

，
∴△COE≌△OBF（SAS），
∴OE=BF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，對(duì)于此類(lèi)綜合性較強(qiáng)的題目，要求同學(xué)們具有扎實(shí)的基本功，熟練掌握學(xué)過(guò)的性質(zhì)定理及常見(jiàn)解題方法．