Question

16．在△ABC中，已知∠CAB=60°，D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，且∠AED=60°，ED+DB=CE，∠CDB=2∠CDE，則∠DCB等于20°．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)AB到F使BF=AD，如圖，先判斷△ADE為等邊三角形得到AD=DE=AE，∠ADE=60°，再利用∠CDB=2∠CDE得到∠CDE=40°，∠CDB=80°，接著證明AF=AC，從而可判斷△AFC為等邊三角形，則有CF=AC，∠F=60°，然后證明△ACD≌△FCB 得到CB=CD，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算∠DCB的度數(shù)．

解答 解：延長(zhǎng)AB到F使BF=AD，如圖，
∵∠CAD=60°，∠AED=60°，
∴△ADE為等邊三角形，
∴AD=DE=AE，∠ADE=60°，
∴∠BDE=180°-∠ADE=120°，
∵∠CDB=2∠CDE，
∴3∠CDE=120°，解得∠CDE=40°，
∴∠CDB=2∠CDE=80°，
∵BF=AD，
∴BF=DE，
∵DE+BD=CE，
∴BF+BD=CE，即DF=CE，
∵AF=AD+DF，AC=AE+CE，
∴AF=AC，
而∠BAC=60°，
∴△AFC為等邊三角形，
∴CF=AC，∠F=60°，
在△ACD和△FCB 中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=FB}\\{∠A=∠F}\\{AC=FC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△FCB （SAS），
∴CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=80°，
∴∠DCB=180-（∠CBD+∠CDB）=20°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．解決本題的關(guān)鍵是延長(zhǎng)AB到F使BF=AD，構(gòu)建△FCB與△ACD全等．