Question

13．已知，如圖，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）求證：△ABD≌△ACE；
（2）求證：BD，CE所在的直線互相垂直；
（3）如圖2，連接BE，DC，取BE中點(diǎn)M，連接AM，試判斷線段AM與DC有何位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠BAC=∠DAE，求出∠BAD=∠EAC，根據(jù)全等三角形的判定定理SAS即可推出△ABD≌△ACE；
（2）如圖1，延長(zhǎng)BD，EC交于F，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADB=∠AEC，推出A，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠DAE+∠F=90°，即可得到結(jié)論；
（3）延長(zhǎng)AM到F，使MF=AM，交CD于點(diǎn)N，構(gòu)造平行四邊形，利用條件證明△ABF≌△CAD，可得出∠BAF=∠ACD，再結(jié)合條件可得到∠ANC=90°，可證得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠EAC，
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE；

（2）證明：如圖1，延長(zhǎng)BD，EC交于F，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠ADB+∠ADF=180°，
∴∠AEC+∠ADF=180°，
∴A，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，
∴∠DAE+∠F=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠F=90°，
∴BD，CE所在的直線互相垂直；

（3）AM⊥CD，
證明：如圖2，延長(zhǎng)AM到F，使MF=AM，交CD于點(diǎn)N，
∵BM=EM，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴BF=AE，∠ABF+∠BAE=180°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAD+∠BAE=180°，
∴∠ABF=∠CAD，
∵BF=AE，AD=AE，
∴BF=AD，
在△ABF和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=AD}\\{∠ABF=CAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CAD（SAS），
∴∠BAF=∠ACD，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF+∠CAM=90°，
∴∠ACD+∠CAN=90°，
∴∠ANC=90°，
∴AM⊥CD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，通過(guò)輔助線構(gòu)造平行四邊形證明三角形全等得到∠BAF=∠ACD是解題的關(guān)鍵．