Question

如圖，直線y=2x-4與x軸交于點A，與y軸交于點B，以x軸上點M為圓心，過A、B兩點作⊙M與x軸交于另一點C．
（1）求⊙M的半徑及圓心M的坐標；
（2）①求經過A、B、C三點的拋物線的頂點D的坐標；
②求證：DB是⊙M的切線；
（3）若半徑為1的⊙P與x軸和直線BD都相切，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，連接BC可得AC是⊙O直徑，進而可得OB²=OA•OC，進而可得圓心的坐標與半徑的大�。�
（2）設出其解析式，并用三點式求拋物線解析可得答案；
（3）根據題意，半徑為1的⊙P與x軸相切，故P的縱坐標的絕對值為1，即為±1，將其值代入拋物線解析式，即可得到其橫坐標，綜合可以寫出P的坐標．
解答：解：（1）y=2x-4與x軸交于點A（2，0），與y軸交于點B（0，-4）．（1分）
解法（一）：連接BC，
∵AC是⊙O直徑，
∴∠ABC=90°OB⊥AC．
∴OB²=OA•OC．
即4²=2OC．
∴OC=8．
∴直徑AC=8+2=10．
∴半徑R=5，圓心M坐標（-3，0）．（3分）
解法（二）：連接MB，易知MB²=MO²+BO²
即R²=（R-2）²+4²，
∴R=5．
∴圓心M坐標為（-5，0）．
解法（三）：M點是AB的中垂線與x軸的交點，
AB：y=2x-4故可設中垂線y=-x+b過AB中點（1，-2），
故y=-x-．
∴圓心M坐標為（-5，0）
∴半徑R=3+2=5．
（解法（二）、（三）參考給分）

（2）①設過A（2，0），B（0，-4），C（-8，0）的解析式為y=a（x-2）（x+8），
∴-4=a（0-2）（0+8）．
∴a=．
∴y=（x-2）（x+8）=x²+x-4（5分）
=（x+3）²-．（6分）
∴頂點D的坐標為（-3，）．（7分）
（用三點式求拋物線解析式參考給分）
②解法（一）：
連MD、MB，
∴MD²=MB²+BD²
∴∠MBD=90°．
∴BD是⊙M的切線．（8分）
解法（二）：直線MB過點M（-3，0）、B（0，-4），
∴y=x-4．
直線BD過點D（-3，）、B（0，-4）
∴y=x-4．
∵k₁k₂=×=-1，
∴直線MB與DB垂直．
∴BD是⊙M的切線．
（其它解法參考給分）

（3）P₁（，1）、P₂（，-1）、P₃（，-1）、P₄（5，1）（12分）
（寫一個點坐標給1分）．
點評：本題考查學生將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．