Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)，點P在直線y=

1

2

x上（點P在第一象限），過點P作PA⊥x軸，垂足為點A，且OP=2

5

．
（1）求點P的坐標(biāo)；  
（2）如果點M和點P都在反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)圖象上，過點M作MN⊥x軸，垂足為點N，如果△MNA和△OAP全等（點M、N、A分別和點O、A、P對應(yīng)），求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)P點在直線y=

1

2

x上，可設(shè)P（2x，x），其中x＞0，再根據(jù)勾股定理可得AO²+AP²=OP²，即(2x)2+x2=(2

5

)2，解得x=2即可計算出P點坐標(biāo)．
（2）根據(jù)P點坐標(biāo)計算出反比例函數(shù)解析式，當(dāng)△MNA和△APO全等時，分以下兩種情況：①點N在點A的左側(cè)時，②點N在點A的右側(cè)時，分別計算出M點坐標(biāo)，再討論是否在反比例函數(shù)圖象上即可．

解答：解：（1）∵PA⊥x軸，垂足為點A．
∴∠PAO=90°，
∵點P在直線y=

1

2

x上（點P在第一象限），
∴設(shè)P（2x，x），其中x＞0，
∴AO=2x，PA=x，
∵AO²+AP²=OP²，
∴(2x)2+x2=(2

5

)2，
解得：x=2
∴P（4，2）；

（2）∵點P在反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)的圖象上，
∴2=

k

4

，
∴k=8，
∴y=

8

x

，
在Rt△PAO中，∠PAO=90°，PA=2，AO=4，
∵∠MNA=90°，
當(dāng)△MNA和△APO全等時，分以下兩種情況：
①點N在點A的左側(cè)時，MN=AO=4，AN=2，
∴ON=OA-AN=4-2=2，
∴M（2，4）．且點M在反比例函數(shù)y=

8

x

的圖象上．
②點N在點A的右側(cè)時，AO=MN=4，AN=2，
∴ON=AN+AO=4+2=6．
∴M（6，4），但點M不在反比例函數(shù)y=

8

x

的圖象上，
綜合①②，滿足條件的點M（2，4）．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．