Question

20．如圖，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=4cm，AC=9cm，點D在射線CA上從C出發(fā)向點A方向運動（點D不與點A重合），且點D運動的速度為2m/s，現(xiàn)設(shè)運動時間為x秒時，對應(yīng)的△ABD的面積為y cm²
（1）填寫下表：

時間x秒	…	2	4	6	…
面積y cm2	…				…

（2）請寫出y與x之間滿足的關(guān)系式；
（3）在點D的運動過程中
①直接指出出現(xiàn)△ABD為等腰三角形的次數(shù)有2次，當(dāng)?shù)谝淮纬霈F(xiàn)△ABD為等腰三角形時，請用所學(xué)知識描述此時點D所在的位置為AB垂直平分線與AC的交點處
②求當(dāng)x為何值時，△ABD的面積是△ABC的面積的$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由x的值可以找到AD的長度，套用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（2）在D點的運動過程中，△ABD的面積先減少后增大，分D點在線段AC內(nèi)或者CA延長線上討論；
（3）①當(dāng)臨邊相等的時候，三角形為等腰三角形，根據(jù)點D的運動過程能找到只有2次出現(xiàn)△ABD為等腰三角形，由等腰三角形底邊上的高線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②先求出△ABC的面積的$\frac{1}{4}$，套入（2）的解析式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)x=2時，CD=2×2=4cm，AD=AC-CD=5cm，
此時y=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×4×5=10cm²．
當(dāng)x=4時，CD=2×4=8cm，AD=AC-CD=1cm，
此時y=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×4×1=2cm²．
當(dāng)x=6時，CD=2×6=12cm，AD=CD-AC=12-9=3cm，
此時y=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×4×3=6cm²
故答案為：10；2；6．
（2）①當(dāng)D在線段AC時，如圖1，

此時0＜CD≤AC，即0＜2x≤9，解得0＜x≤$\frac{9}{2}$，
∵CD=2x，AD=AC-CD=9-2x，
∴y=$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$（9-2x）×4=-4x+18，
∴y與x之間滿足的關(guān)系式為：y=-4x+18，
②當(dāng)D在CA的延長線時，如圖2，

此時CD＞AC，即2x＞9，解得x＞$\frac{9}{2}$，
∵CD=2x，AD=CD-AC=2x-9，
∴y=$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$（2x-9）×4=4x-18；
綜合①②得：y=$\left\{\begin{array}{l}{y=-4x+18（0＜x≤\frac{9}{2}）}\\{y=4x-18（x＞\frac{9}{2}）}\end{array}\right.$．
（3）①若△ABD為等腰三角形，只需AD=BD，AD=AB，或者AB=BD，
∵D點從C點出發(fā)，故當(dāng)BD=AB時，AB、BD重合，不為三角形．
∴出現(xiàn)△ABD為等腰三角形的次數(shù)有2次．
第一次△ABD為等腰三角形時，BD=AD，
∵BD=AD，
∴過A點作BD的垂線，必平分BD．
故答案為：2；BD垂直平分線；AC．
②△ABC的面積=$\frac{1}{2}$AC×BC=$\frac{1}{2}$×9×4=18，
令y=$\frac{18}{4}$時，即$\frac{18}{4}$=-4x+18，或者$\frac{18}{4}$=4x-18，
解得x=$\frac{27}{8}$，或者x=$\frac{45}{8}$．
故當(dāng)x=$\frac{27}{8}$或者x=$\frac{45}{8}$時，△ABD的面積是△ABC的面積的$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了動點問題的函數(shù)圖象、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是（1）會用三角形的面積公式；（2）分D點在線段AC內(nèi)或者CA延長線上討論；（3）牢記等腰三角形的性質(zhì)．