Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線y=$\frac{m}{x}$與直線y=kx-2交于點A（3，1）．
（1）求直線和雙曲線的解析式；
（2）直線y=kx-2與x軸交于點B，點P是雙曲線y=$\frac{m}{x}$上一點，過點P作直線PC∥x軸，交y軸于點C，交直線y=kx-2于點D．若DC=2OB，直接寫出點P的坐標(biāo)為P（$\frac{3}{2}$，2）或（-$\frac{1}{2}$，-6）．

Answer 1

分析 （1）把A的坐標(biāo)分別代入雙曲線y=$\frac{m}{x}$與直線y=kx-2，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理得出$\frac{OF}{CF}$=$\frac{OB}{CD}$=$\frac{1}{2}$，得出CF=2OF，即可求得直線CD與y軸的交點坐標(biāo)，從而求得P的縱坐標(biāo)，代入（1）求得的解析式即可求得P點的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵直線y=kx-2過點A（3，1），
∴1=3k-2．
∴k=1．
∴直線的解析式為y=x-2．
∵雙曲線y=$\frac{m}{x}$過點A（3，1），
∴m=3．
∴雙曲線的解析式為$y=\frac{3}{x}$． 
（2）$（{\frac{3}{2}，2}）$∵PC∥x軸，DC=2OB，
∴$\frac{OF}{CF}$=$\frac{OB}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=2OF，
由直線y=x-2可知F（0，-2），
∴OF=2，
∴CF=4，
∴C的坐標(biāo)為（0，2）或（0，-6），
∴P的縱坐標(biāo)為2或-6，
代入y=$\frac{3}{x}$得，2=$\frac{3}{x}$，解得x=$\frac{3}{2}$，
-6=$\frac{3}{x}$，解得x=-$\frac{1}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，2）或（-$\frac{1}{2}$，-6）．
故答案為P（$\frac{3}{2}$，2）或（-$\frac{1}{2}$，-6）．

點評 本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)的解析式，一次和圖象上點的坐標(biāo)特征，平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，求得直線CD與y軸的交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．