（2012•達州）【問題背景】
若矩形的周長為1，則可求出該矩形面積的最大值．我們可以設矩形的一邊長為x，面積為s，則s與x的函數(shù)關系式為：s=-x2+
1
2
x(x＞0），利用函數(shù)的圖象或通過配方均可求得該函數(shù)的最大值．
【提出新問題】
若矩形的面積為1，則該矩形的周長有無最大值或最小值？若有，最大（�。┲凳嵌嗌�？
【分析問題】
若設該矩形的一邊長為x，周長為y，則y與x的函數(shù)關系式為：y=2(x+
1
x
)（x＞0），問題就轉化為研究該函數(shù)的最大（小）值了．
【解決問題】
借鑒我們已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗，探索函數(shù)y=2(x+
1
x
)（x＞0）的最大（�。┲担�
（1）實踐操作：填寫下表，并用描點法畫出函數(shù)y=2(x+
1
x
)（x＞0）的圖象：
 x …  
1
4
  
1
3
  
1
2
  1  2  3  4 …
 y …               …
（2）觀察猜想：觀察該函數(shù)的圖象，猜想當x=
1
1
時，函數(shù)y=2(x+
1
x
)（x＞0）有最
小
小
值（填“大”或“小”），是
4
4
．
（3）推理論證：問題背景中提到，通過配方可求二次函數(shù)s=-x2+
1
2
x(x＞0）的最大值，請你嘗試通過配方求函數(shù)y=2(x+
1
x
)（x＞0）的最大（�。┲担宰C明你的猜想．〔提示：當x＞0時，x=(
x
)2〕
分析：（1）分別把表中x的值代入所得函數(shù)關系式求出y的對應值填入表中，并畫出函數(shù)圖象即可；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)圖象的頂點坐標直接得出結論即可；
（3）利用配方法把原式化為平方的形式，再求出其最值即可．
解答：解：（1）
x …
1
4
1
3
1
2
 1 2 3 4 …
y … 8
1
2
 6
2
3
 5 4 5 6
2
3
 8
1
2
 …


（2）由函數(shù)圖象可知，其頂點坐標為（1，4），故當x=1時函數(shù)有最小值，最小值為4，
故答案為：1、小、4；

（3）證明：
y=2[（
x
）2+
1
(
x
)2
]
=2[（
x
）2-2+
1
(
x
)2
+2]
=2（
x
-
1
x
）2+4
當
x
-
1
x
=0時，y的最小值是4，即x=1時，y的最小值是4．
點評：本題考查的是二次函數(shù)的最值及配方法的應用，能利用數(shù)形結合求解是解答此題的關鍵．
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