Question

如圖，點A為x軸負半軸上一點，點B為x軸正半軸上一點，OA、OB（OA＜0B）的長分別是關(guān)于x的一元二次方程x²-4mx+m²+2=0的兩根，C（0，3），且△ABC的面積為6，求∠ABC的度數(shù)．

Answer 1

解：∵C（0，3），
∴CO=3．
∵△ABC的面積為6，
∴=6，
∴AB=4．
∵OA、OB（OA＜0B）的長分別是關(guān)于x的一元二次方程x²-4mx+m²+2=0的兩根，
∴OA+OB=4m，
∴4m=4，
∴m=1．
∴一元二次方程為：x²-4x+3=0
∴x₁=1，x₂=3．
∵OA＜0B，
∴OA=1，OB=3．
∴OB=OC，
∴△OBC是扥要直角三角形，
∴∠ABC=45°．
答：∠ABC=45°．
分析：先跟及三角形ABC的面積求出AB的值，再由根與系數(shù)的關(guān)系就可以求出m的值，從而求出方程的解，就可以得出OB的值，進而得出△OBC為等腰直角三角形就可以得出結(jié)論．
點評：本題考查了三角形面積公式的運用，根與系數(shù)的關(guān)系的運用，一元二次方程的解法的運用，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時求出m的值是解答一元二次方程的關(guān)鍵．