Question

5．直線AB：y=-x+b分別與x，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （3，0），過點(diǎn)B的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，且OB：OC=3：1．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線BC的解析式；
（2）在x軸上方存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)A，B，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，畫出△ABD并請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在線段OB上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)B，C的距離相等，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x+b可計(jì)算出b=3，即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線BC的解析式；
（2）點(diǎn)A，B，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)PB=PC=x，根據(jù)勾股定理解答即可．

解答 解：（1）把A （3，0）代入y=-x+b，得 b=3，
∴B（0，3），
∴OB=3，
∵OB：OC=3：1，
∴OC=1，
∵點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，
∴C（-1，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
把B（0，3）及C（-1，0）代入，得$\left\{\begin{array}{l}n=3\\-m+n=0\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}m=3\\ n=3\end{array}\right.$．
∴直線BC的解析式為：y=3x+3；
（2）如圖，

進(jìn)而得出D₁（4，3），D₂（3，4）；
（3）由題意，PB=PC，
設(shè)PB=PC=x，則OP=3-x，
在Rt△POC中，∠POC=90°，
∴OP²+OC²=PC²，
∴（3-x）²+1²=x²，
解得，x=$\frac{5}{3}$，
∴OP=3-x=$\frac{4}{3}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（0，$\frac{4}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)的綜合題，關(guān)鍵是利用兩條直線相交或平行的問題：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式解答．