Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（3，0），直線y=-x+3恰好經(jīng)過B，C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線y=x²+bx+c的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的對(duì)稱軸直線，并用尺規(guī)作圖在對(duì)稱軸直線上作出P點(diǎn)，使∠APD=∠ACB；
（3）在（2）的條件下求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)直線方程易求點(diǎn)C、B的坐標(biāo)．把它們的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式；然后把拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式方程，由頂點(diǎn)式方程直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）利用圓周角定理可以畫出點(diǎn)P的位置；
（3）如圖，過A作AH⊥BC于點(diǎn)H，連接PA，設(shè)直線x=2交x軸于E點(diǎn)．易證△BOC、△AHB為等腰直角三角形，則BC=3

2

，AH=BH=

2

，CH=3

2

-

2

=2

2

，通過解Rt△AHC中，求得PE=2．故坐標(biāo)為（2，2）或（2，-2），

解答：解：（1）∵y=-x+3恰好經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，
∴C（0，3），B（3，0），
∴

9+3b+c=0 c=3

．
解之得，

b=-4 c=3

．
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴頂點(diǎn)D（2，-1）；

（2）如圖1，點(diǎn)P是△ACB外接圓圓心；

（3）如圖2，過A作AH⊥BC于點(diǎn)H，連接PA，設(shè)直線x=2交x軸于E點(diǎn)．
∵OB=OC=3，
∴△BOC為等腰直角三角形，∠OBC=45．，BC=3

2

，
又AB=2，
∴AH=BH=

2

，CH=3

2

-

2

=2

2

，
∴在Rt△AHC中，tan∠ACB=tan∠ACH=

AH

CH

=

1

2

，
故tan∠APE=tan∠ACB=

1

2

∵tan∠APE=

AP

PE

=

1

PE

，
∴PE=2．
故坐標(biāo)為（2，2）或（2，-2），

點(diǎn)評(píng)：本題前兩問考查了二次函數(shù)的基本性質(zhì)，較為簡單．第三問結(jié)合二次函數(shù)的圖象考查了三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．