16.平面上,Rt△ABC與直徑為CE的半圓O如圖1擺放,∠B=90°,AC=2CE=m,BC=n,半圓O交BC邊于點(diǎn)D,將半圓O繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),點(diǎn)D隨半圓O旋轉(zhuǎn)且∠ECD始終等于∠ACB,旋轉(zhuǎn)角記為α(0°≤α≤180°).
(1)①當(dāng)α=0°時(shí),連接DE,則∠CDE=90°,CD=$\frac{1}{2}$n;②當(dāng)α=180°時(shí),$\frac{BD}{AE}$=$\frac{n}{m}$.
(2)試判斷:旋轉(zhuǎn)過程中$\frac{BD}{AE}$的大小有無變化?請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明.
(3)若m=10,n=8,當(dāng)α=∠ACB時(shí),線段BD=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$.
(4)若m=6,n=$4\sqrt{2}$,當(dāng)半圓O旋轉(zhuǎn)至與△ABC的邊相切時(shí),線段BD=2$\sqrt{10}$或$\frac{2\sqrt{114}}{3}$.

分析 (1)①根據(jù)直徑的性質(zhì),由DE∥AB得$\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{CA}$即可解決問題.②求出BD、AE即可解決問題.
(2)只要證明△ACE∽△BCD即可.
(3)求出AB、AE,利用△ACE∽△BCD即可解決問題.
(4)分類討論:①如圖5中,當(dāng)α=90°時(shí),半圓與AC相切,②如圖6中,當(dāng)α=90°+∠ACB時(shí),半圓與BC相切,分別求出BD即可.

解答 (1)解:①如圖1中

當(dāng)α=0時(shí),連接DE,則∠CDE=90°,
∵∠CDE=∠B=90°,
∴DE∥AB,
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{CD}{CB}$=$\frac{1}{2}$,
∵BC=n,
∴CD=$\frac{1}{2}n$.
故答案為90°,$\frac{1}{2}$n.
②如圖2中,當(dāng)α=180°時(shí),BD=BC+CD=$\frac{3}{2}$n,AE=AC+CE=$\frac{3}{2}$m,
∴$\frac{BD}{AE}$=$\frac{n}{m}$.
故答案為$\frac{n}{m}$.

(2)如圖3中,

∵∠ACB=∠DCE,
∴∠ACE=∠BCD,
∵$\frac{CD}{CE}=\frac{BC}{AC}=\frac{n}{m}$,
∴△ACE∽△BCD,
∴$\frac{BD}{AE}=\frac{BC}{AC}=\frac{n}{m}$.
(3)如圖4中,當(dāng)α=∠ACB時(shí),

在RT△ABC中,∵AC=10,BC=8,∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=6,
在RT△ABE中.∵AB=6,BE=BC-CE=3,
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}{+3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$,
由(2)可知△ACE∽△BCD,
∴$\frac{BD}{AE}=\frac{BC}{AC}$,
∴$\frac{BD}{3\sqrt{5}}$=$\frac{8}{10}$,
∴BD=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$,
故答案為$\frac{12\sqrt{5}}{5}$.
(4)∵m=6,n=$4\sqrt{2}$,
∴CE=3,CD=2$\sqrt{2}$,AB=$\sqrt{C{A}^{2}-B{C}^{2}}$=2,
①如圖5中,當(dāng)α=90°時(shí),半圓與AC相切,

在RT△DBC中,BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{(4\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}$=2$\sqrt{10}$.
②如圖6中,當(dāng)α=90°+∠ACB時(shí),半圓與BC相切,

作EM⊥AB于M,
∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°,
∴四邊形BCEM是矩形,
∴$BM=EC=3,ME=4\sqrt{2}$,
∴AM=5,AE=$\sqrt{A{M}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{57}$,
由(2)可知$\frac{DB}{AE}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
∴BD=$\frac{2\sqrt{114}}{3}$.
故答案為2$\sqrt{10}$或$\frac{2\sqrt{114}}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的有關(guān)知識(shí),相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),正確畫出圖形是解決問題的關(guān)鍵,學(xué)會(huì)分類討論的思想,本題綜合性比較強(qiáng),屬于中考?jí)狠S題.

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