Question

已知：拋物線y=x²+（b-1）x-5．
（1）寫(xiě)出拋物線的開(kāi)口方向和它與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，求b的值，并畫(huà)出拋物線的草圖（不必列表）；
（3）如圖，若b＞3，過(guò)拋物線上一點(diǎn)P（-1，c）作直線PA⊥y軸，垂足為A，交拋物線于另一點(diǎn)B，且BP=2PA，求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a值大于0，判斷拋物線的開(kāi)口向上，令x=0求出函數(shù)值y，就是拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸解析式列式求出b的值，從而得到拋物線解析式，再根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)與頂點(diǎn)坐標(biāo)作出草圖即可；
（3）先根據(jù)b＞3判斷出點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，然后根據(jù)BP=2PA求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)P、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求出b、c的值，即可寫(xiě)出該拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式．[或者根據(jù)點(diǎn)BP的中點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，利用對(duì)稱(chēng)軸解析式列式進(jìn)行計(jì)算求解b的值．]

解答：解：（1）∵a=1＞0，
∴拋物線開(kāi)口向上，
當(dāng)x=0時(shí)，y=0²+（b-1）×0-5=-5，
∴它與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-5）；

（2）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
∴-

b

2a

=-

b-1

2×1

=1，
解得b=-1，
故拋物線的解析式為y=x²-2x-5；
圖象如右；

（3）∵b＞3，
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=-

b

2a

=-

b-1

2

＜-1，
∴對(duì)稱(chēng)軸在點(diǎn)P的左側(cè)，
∵直線PA⊥y軸，且P（-1，c），BP=2PA，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，c），
把點(diǎn)B（-3，c）、P（-1，c）代入拋物線解析式y(tǒng)=x²+（b-1）x-5得，

9+(b-1)×(-3)-5=c 1+(b-1)×(-1)-5=c

，
解得

b=5 c=-8

，
∴拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式為y=x²+4x-5；
[或：∵點(diǎn)B（-3，c）、P（-1，c），
∴BP的中點(diǎn)（-2，c）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，
∴-

b

2a

=-

b-1

2

=-2，解得b=5．]

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，拋物線的開(kāi)口方向，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，綜合性題目但難度不大，只要仔細(xì)分析，認(rèn)真計(jì)算便不難求解．