【題目】如圖,∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D,∠ABC的平分線交AD于點E,
(1)求證:DE=DB;
(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC外接圓的半徑.

【答案】
(1)證明:∵BE平分∠BAC,AD平分∠ABC,

∴∠ABE=∠CBE,∠BAE=∠CAD,

∴∠DBC=∠CAD,

∴∠DBC=∠BAE,

∵∠DBE=∠CBE+∠DBC,∠DEB=∠ABE+∠BAE,

∴∠DBE=∠DEB,

∴DE=DB


(2)解:連接CD,如圖所示:

由(1)得: ,

∴CD=BD=4,

∵∠BAC=90°,

∴BC是直徑,

∴∠BDC=90°,

∴BC= =4

∴△ABC外接圓的半徑= ×4 =2


【解析】(1)由角平分線得出∠ABE=∠CBE,∠BAE=∠CAD,得出 ,由圓周角定理得出∠DBC=∠CAD,證出∠DBC=∠BAE,再由三角形的外角性質得出∠DBE=∠DEB,即可得出DE=DB;(2)由(1)得: ,得出CD=BD=4,由圓周角定理得出BC是直徑,∠BDC=90°,由勾股定理求出BC= =4 ,即可得出△ABC外接圓的半徑.

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A. B. C. 3 D.

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