Question

15．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2x+m=0．
（1）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的范圍．
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁．x₂，且（x₁-1）²+（x₂-1）²+m²=5，求m的值．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)一元二次方程的一般形式求得b²-4ac的值，再進(jìn)一步根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x²-2x+m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即△≥0進(jìn)行求解．
（2）方程變形為（x-1）²=1-m，根據(jù)題意則（x₁-1）²=1-m，（x₂-1）²=1-m，代入（x₁-1）²+（x₂-1）²+m²=5解得即可．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²-2x+m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴b²-4ac=4-4m≥0，
即m≤1．
（2）∵x²-2x+m=0，
∴（x-1）²=1-m，
∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁．x₂，
∴（x₁-1）²=1-m，（x₂-1）²=1-m，
∵（x₁-1）²+（x₂-1）²+m²=5
∴（1-m）²+（1-m）²+m²=5，
解得m=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．