Question

2．過△ABC的三邊中點(diǎn)D，E，F(xiàn)向內(nèi)切圓引切線，設(shè)所引的切線分別與EF，F(xiàn)D，DE交于I，L，M．求證：I，L，M在一條直線上．

Answer 1

分析 先用圓外切四邊形的對角線以及對邊切點(diǎn)連線四線共點(diǎn)判斷出GC，PQ，BE共點(diǎn)，然后充分使用Menelaus定理，即可．

解答 解：如圖，

設(shè)EL交AB于G，內(nèi)切圓與AB，AC分別相切于P，Q．
連GC，PQ，BE，由圓外切四邊形的對角線以及對邊切點(diǎn)連線四線共點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)O．記BC=a，CA=b，AB=c．
由切線長定理不難算得AP=QA=$\frac{b+c-a}{2}$，
進(jìn)而PB=$\frac{c+a-b}{2}$，QE=QA-EA=$\frac{c-a}{2}$．
∵P，O，Q共線，
∴$\frac{BO}{OE}×\frac{EQ}{QA}×\frac{AP}{PB}$=1 （對△BEA使用Menelaus定理），
∴$\frac{BO}{OE}=\frac{PB}{EQ}$=$\frac{c+a-b}{c-a}$，
∵G，O，C共線，
∴$\frac{BO}{OE}×\frac{EC}{CA}×\frac{AG}{GB}$=1 （對△BEA使用Menelaus定理），
∴$\frac{GB}{AG}=\frac{1}{2}×\frac{BO}{OE}$=$\frac{c+a-b}{2c-2a}$，
∴$\frac{GF}{AF}=\frac{AF-AG}{AF}=\frac{AB-2AG}{AB}=\frac{AG+BG-2AG}{AG+BG}$=$\frac{GB-AG}{GB+AG}$=$\frac{c+a-b}{2c-2a}$，
∵DE∥AB，DL∥AC （中位線定理），
∴$\frac{FL}{LD}=\frac{GL}{LE}=\frac{GF}{FA}$=$\frac{3a-b-c}{3c-a-b}$，
同理，在原題圖形中可得$\frac{DM}{ME}=\frac{3b-c-a}{3a-b-c}$，$\frac{EI}{IF}=\frac{3c-a-b}{3b-a-c}$
∴$\frac{FL}{LD}×\frac{DM}{ME}×\frac{EI}{IF}$=1．
即：點(diǎn)I，L，M共線，（對△FDE使用Menelaus定理）．

點(diǎn)評 此題是三角形五心題，主要考查了，圓外切四邊形的對角線以及對邊切點(diǎn)連線四線共點(diǎn)，Menelaus定理，解本題的關(guān)鍵是GC，PQ，BE共點(diǎn)．