Question

如圖：AD是△ABC的高，點P，Q在BC邊上，點R在AC邊上，點S在AB邊上，AD=40cm，四邊形PQRS是正方形，并且正方形的邊長為30cm．
（1）△ASR與△ABC相似嗎？為什么？
（2）能否求出△ASR與△ABC的面積比？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出SR∥BC，根據(jù)相似三角形的判定推出即可；
（2）求出DE=SP=30cm，求出AE的長，根據(jù)平行線得出兩三角形相似，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形的對應(yīng)高之比等于相似比，即可求出答案．

解答：（1）解：△ASR∽△ABC，
理由是：∵四邊形PQRS是正方形，
∴RS∥PQ，
即RS∥BC，
∴△ASR∽△ABC．

（2）解：能求出△ASR與△ABC的面積比，
理由是：∵四邊形PQRS是正方形，
∴SR∥PQ，SR=SP，∠SPQ=90°，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥SR，
∴SP∥AD，
∴四邊形SPDE是矩形，
∴SP=DE，
正方形PQRS的邊長為30cm，
∴SR=SP=DE=30cm，
∴AE=AD-DE=10cm，
∵SR∥BC，
∴△ASR∽△ABC．
∴

S△ASR

S△ABC

=(

AE

AD

)2=(

10

40

)2=

1

16

，
即能求出△ASR與△ABC的面積比，是

1

16

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：正方形的對邊相等且平行，相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形的對應(yīng)高之比等于相似比．