Question

已知Rt△ABC中，∠C=90°，O為斜邊AB上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓與邊AC，BC分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AC=1，BC=3，則⊙O的半徑為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：如圖，連接OE，OF，設(shè)圓的半徑為R，OE=OF=R，根據(jù)已知條件可以推出則四邊形AFOE是正方形，從而得到OF∥AC，可得△OBF∽△ABC，可得OF：AC=FB：BC，由此可以把BF用R表示，同理AE也可以用R表示，然后由勾股定理得，AO=R，BO=R，AB=，由此即可求出R．
解答：解：如圖，連接OE，OF，
設(shè)圓的半徑為R，
∴OE=OF=R，
∵以O(shè)為圓心的圓與邊AC，BC分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，
∴四邊形AFOE是正方形，
∴OF∥AC，
∴△OBF∽△ABC，
∴OF：AC=FB：BC，
∴BF=3R，
同理，AE=R，
由勾股定理得，AO=R，BO=R，AB=，
∵AO+BO=AB，
∴R=．
故選C．
點(diǎn)評：本題利用了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理求解，有一定的難度．