Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC = 4，AB邊上有一動(dòng)點(diǎn)P(不與A、B重合)，連結(jié)DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點(diǎn)E，設(shè)AP=x．

⑴當(dāng)x為何值時(shí)，△APD是等腰三角形？

⑵若設(shè)BE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

⑶若BC的長(zhǎng)可以變化，在現(xiàn)在的條件下，是否存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C？若存在，求出相應(yīng)的AP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由，并直接寫出當(dāng)BC的長(zhǎng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，可以存在這樣的點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C．

 

Answer 1

【答案】

⑴當(dāng)x為2、4、5時(shí)，△APD是等腰三角形⑵y=－x²+x－4⑶不存在，0＜BC≤3

【解析】⑴解：過D點(diǎn)作DH⊥AB于H  ，

則四邊形DHBC為矩形，

∴DH=BC=4，HB=CD=6  ∴AH=2，AD=2…………………1分

∵AP=x，   ∴PH=x－2，

情況①：當(dāng)AP=AD時(shí)，即x=2……………………………2分

情況②：當(dāng)AD=PD時(shí)，則AH=PH

∴2=x－2，解得x= 4………………………………………………………·3分

情況③：當(dāng)AP=PD時(shí)，

則Rt△DPH中，x²=4²+(x－2)²，解得x=5…………………………………4分

∵2<x<8，∴當(dāng)x為2、4、5時(shí)，△APD是等腰三角形…………………………5分

⑵易證：△DPH∽△PEB ………………………………………………………………7分

∴，∴  整理得：y=(x－2)(8－x)=－x²+x－4………8分

⑶若存在，則此時(shí)BE=BC=4，即y=－x²+x－4=4，整理得： x²－10x+32=0

∵△=(－10)²－4×32<0，∴原方程無解，……………………………………………9分

∴不存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C……………………………………………………10分

當(dāng)BC滿足0＜BC≤3時(shí)，存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C……………………………12分

1、過D點(diǎn)作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC為矩形，在Rt△AHD中，由勾股定理可求得DH、AD、PH的值，若△ADP為等腰三角形，則分三種情況：①當(dāng)AP=AD時(shí)，x=AP=AD，②當(dāng)AD=PD時(shí)，有AH=PH，故x=AH+PH，③當(dāng)AP=PD時(shí)，則在Rt△DPH中，由勾股定理可求得DP的值，有x=AP=DP．

2、易證：△DPH∽△PEB⇒，即，故可求得y與x的關(guān)系式．

3、利用△DPH∽△PEB，得出，進(jìn)而利用根的判別式和一元二次不等式解集得出即可．