Question

（2013•十堰）如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)是2，分別以點(diǎn)B，C為圓心，以r為半徑作兩條弧，設(shè)兩弧與邊BC圍成的陰影部分面積為S，當(dāng)

2

≤r＜2時(shí)，S的取值范圍是

π

2

-1≤S＜

4π

3

-

3

．

Answer 1

分析：首先求出S關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，分析其增減性；然后根據(jù)r的取值，求出S的最大值與最小值，從而得到S的取值范圍．

解答：解：如右圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，易知G為BC的中點(diǎn)，CG=1．
在Rt△CDG中，由勾股定理得：DG=

CD2-CG2

=

r2-1

．
設(shè)∠DCG=θ，則由題意可得：
S=2（S_扇形CDE-S_△CDG）=2（

θπr2

360

-

1

2

×1×

r2-1

）=

θπr2

180

-

r2-1

，
∴S=

θπr2

180

-

r2-1

．
當(dāng)r增大時(shí)，∠DCG=θ隨之增大，故S隨r的增大而增大．
當(dāng)r=

2

時(shí)，DG=

r2-1

=1，∵CG=1，故θ=45°，
∴S=

45π( 2 )2

180

-

( 2 )2-1

=

π

2

-1；
若r=2，則DG=

r2-1

=

3

，∵CG=1，故θ=60°，
∴S=

60π22

180

-

22-1

=

4π

3

-

3

．
∴S的取值范圍是：

π

2

-1≤S＜

4π

3

-

3

．
故答案為：

π

2

-1≤S＜

4π

3

-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查扇形面積的計(jì)算、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn)．解題關(guān)鍵是求出S的函數(shù)表達(dá)式，并分析其增減性．