Question

如圖，直線y=-

3

x+2與x軸交于點C，與y軸交于點B，點A為y軸正半軸上的一點，⊙A經過點B，O，直線BC交⊙A于點D．
（1）求點D的坐標．
（2）以OC為直徑作⊙O'，連接AD，直線AD與⊙O'相切嗎？為什么？
（3）過O，C，D三點作拋物線，在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使線段PO與PD之差的值最大？若存在，請求出這個最大值和點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意可求得點B，C的坐標，因為OB是直徑，所以可求得∠BDO是直角，所以由三角函數可求得∠OBC等于30°，所以可求得OD的長，根據三角函數可求得點D的坐標；
（2）根據題意，有等量代換求得∠ADO′=90°，即可說明AD是⊙O'切線；
（3）首先要驗證此點的存在性，再根據三角形的相似性求解即可．

解答：解：（1）由題意知B（0，2），C（

2

3

3

，0），
tan∠OBC=

OC

BO

=

2 3 3

2

=

3

3

，
∴∠OBC=30°，
∴BD=BOcos30°=

3

．
過D作DE⊥y軸，垂足為E，DE=BD•sin30°=

3

2

，EO=DEtan30°=

1

2

，
∴D（

3

2

，

1

2

)．

（2）相切．
連接O'D．
由題意知O'D=OO'，
∴∠O'OD=∠O'DO，
又∵∠AOD=∠ADO．
∴∠ADO'=∠ADO+∠O'DO=∠AOD+∠O'OD=∠AOO'=90°，
∴AD是⊙O'的切線．

（3）存在．
點P是直線BC與對稱軸的交點，
設P'是對稱軸上不同于點P的任一點，PO-PD=PC-PD=CD，P'O-P'D=P'C-P'D．
在△P'CD中，顯然有P'C-P'D＜CD．
所以，存在點P，使PO與PD之差的值最大．
且點P是直線BC與對稱軸的交點．
由CO²=CD•CB，得CD=

OC2

CB

=

( 2 3 3 )2

4 3 3

=

3

3

，
根據拋物線的對稱性知對稱軸方程為x=

3

3

，
所以點P縱坐標為-

3

×

3

3

+2=1．
∴P（

3

3

，1）．

點評：此題考查了二次函數與園的綜合應用，解題時要注意分析二次函數與圓的性質，要注意數形結合思想的應用．