Question

如圖，一個長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C₁處．
（1）請你畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑；
（2）當(dāng)AB=4，BC=4，CC₁=5時，求螞蟻爬過的最短路徑的長；
（3）求點B₁到最短路徑的距離．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，先將長方體展開，再根據(jù)兩點之間線段最短．

解答：解：（1）如圖，
木柜的表面展開圖是矩形ABC'₁D₁或ACC₁A₁．
故螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑有如圖的AC'₁或AC₁；（2分）


（2）螞蟻沿著木柜表面矩形ABC'₁D₁爬過的路徑AC'₁的長是l1=

42+(4+5)2

=

97

．（3分）
螞蟻沿著木柜表面矩形矩形AB₁C₁D爬過的路徑AC₁的長=

97

，

螞蟻沿著木柜表面ACC₁A₁爬過的路徑AC₁的長是l2=

(4+4)2+52

=

89

．（4分）
l₁＞l₂，故最短路徑的長是l2=

89

．（5分）

（3）作B₁E⊥AC₁于E，
∵∠C₁EB₁=∠C₁A₁A，∠A₁C₁A是公共角，
∴△AA₁C₁∽△B₁EC₁，
即

B1E

AA1

=

B1C1

AC1

，
則B1E=

B1C1

AC1

•AA1=

4

89

•5=

20

89

89

為所求．（8分）
注：作垂線、相似（或等面積）、計算各（1分）．

點評：本題是一道趣味題，將長方體展開，根據(jù)兩點之間線段最短，運用勾股定理解答即可．