Question

10．如圖，一次函數(shù)y₁=x+m（m＞0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A，一次函數(shù)y₂=nx+2的圖象與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P（$\frac{1}{3}，\frac{4}{3}$）是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)．
（1）求函數(shù)y₁、y₂的關(guān)系式；
（2）若∠PBA=64°，求∠APB的度數(shù)；
（3）求四邊形PCOB的面積；
（4）在x軸上，是否存在一點(diǎn)Q，使以點(diǎn)Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)P在兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)得出OA=OC，得出∠CAB=45°，再利用三角形內(nèi)角和定理解答即可；
（3）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再求出AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)S_{四邊形PCOB}=S_△PAB-S_△AOC即可求解；
（4）分三種情況討論：①當(dāng)QB=QC時(shí)，②當(dāng)BQ=BC時(shí)，③當(dāng)BC=QC時(shí)解答．

解答 解：（1）∵P（$\frac{1}{3}，\frac{4}{3}$）是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，
∴$\frac{4}{3}=\frac{1}{3}+m\\;\\;\frac{4}{3}=\frac{1}{3}n=2$，$\frac{4}{3}=\frac{1}{3}n+2$，
解得：m=1，n=-2，
所以y₁=x+1，y₂=-2x+2；
（2）把x=0代入y₁=x+1，可得y=1，
把y=0代入y₁=x+1，可得x=-1，
所以O(shè)A=OC=1，
所以∠CAB=45°，
∵∠PBA=64°，
∴∠APB=180°-45°-64°=71°；
（3）∵直線y₁=x+1與x，y軸分別交于點(diǎn)A，C，
∴A（-1，0），C（0，1），
∴OA=1，OC=1，
∵直線y₂=-2x+2與x軸交于點(diǎn)B，
∴B（1，0），
∴OB=1，
∴AB=|1-（-1）|=2，
∴${S}_{PCOB}={S}_{△PAB}-{S}_{△AOC}=\frac{1}{2}AB•|{y}_{P}|-\frac{1}{2}OA$•OC=$\frac{1}{2}×2×\frac{4}{3}-\frac{1}{2}×1×1=\frac{5}{6}$；
（4）①當(dāng)QB=QC時(shí)，Q（0，0）；
②當(dāng)BQ=BC時(shí)，點(diǎn)Q（$1-\sqrt{2}$，0）或（$1+\sqrt{2}$，0）；
③當(dāng)BC=QC時(shí)，Q（-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合知識(shí)，難度適中，關(guān)鍵是掌握分類討論思想的運(yùn)用．