Question

【題目】如圖，是半圓的直徑，點是半圓上的一個動點，的角平分線交圓弧于點，過點作于點．

（1）求證：是半圓的切線；

（2）填空：①若，則__________；

②連接、，當(dāng)的度數(shù)為__________時，四邊形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①2；②

【解析】

（1）連接OD，根據(jù)角平分線的定義和已知以及平行線的判定得到OD∥AE，即∠ODE=∠E=90，即可證明；

（2）①作DG⊥AB于G，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求出△ADE與△ABD的面積比，根據(jù)三角形的面積公式計算即可；②根據(jù)菱形的判定定理和等邊三角形的性質(zhì)解答即．

（1）證明：如圖１，連接OD

∵AD是∠BAC的角平分線，

∴∠EAD=∠DAB，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠EAD=∠ODA，

∴OD∥AE，

∴∠ODE＝∠E=90°

∴是半圓的切線；

（2）①如圖2，作DG⊥AB于G

∵AD是∠BAC的角平分線，∠E=90°，DG⊥AB，

∴DE=DG，∠EAD=∠DAB，

∵∠ODE＝∠E=90°,

∵△ADE∽△ABD，

∵

∴△ADE與△ABD的面積比為3：4，即

∴AE:AB=3：4；

②如圖3，當(dāng)四邊形BDCO是天菱形時，

∴BD=OC=CD=OB，CD∥OB，

當(dāng)CD∥OB時,BD=AC

∴△AOC為等邊三角形

∴當(dāng)∠BAC=60°時，四邊形BDCO是菱形．

故答案為：①3：4；②60°.