已知:如圖,△ABC中,AD⊥BC,BD=DE,點(diǎn)E在AC的垂直平分線上.
(1)請(qǐng)問(wèn):AB、BD、DC有何數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.
(2)如果∠B=60°,請(qǐng)問(wèn)BD和DC有何數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.
分析:(1)由AD⊥BC,BD=DE,點(diǎn)E在AC的垂直平分線上,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),可得AE=EC,AB=AE,繼而證得AB+BD=AE+DE=DC.
(2)易得△ABE是等邊三角形,則可得△ABC是直角三角形,且∠BAD=∠C=30°,然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì),證得結(jié)論.
解答:解:(1)AB+BD=DC.
證明:∵AD⊥BC,BD=DE,
∴AB=AE,BD=DE,
∵點(diǎn)E在AC的垂直平分線上,
∴AE=CE,
∴AB+BD=AE+DE=DC.

(2)DC=3BD.
證明:∵AB=AE,∠B=60°,
∴△ABE是等邊三角形,
∴∠AEB=∠B=∠BAE=60°,
∵AE=EC,
∴∠C=∠CAE=
1
2
∠AEB=30°,
∴∠BAC=90°,∠BAD=30°,
在Rt△ABC中,BC=2AB,
在Rt△AABD中,AB=2BD,
∴BC=4BD,
∴DC=3BD.
點(diǎn)評(píng):此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中,注意掌握轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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17、已知,如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,BE平分∠ABC,交AD于點(diǎn)M,AN平分∠DAC,交BC于點(diǎn)N.
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求:BD的長(zhǎng).

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