Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，D是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)E時(shí)的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．連接AE并延長(zhǎng)交BF于點(diǎn)C．

（1）求證：AB＝BC；

（2）如果AB＝10．tan∠FAC＝，求FC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）FC＝．

【解析】

（1）連接EB，可得BE⊥AC，∠ABE＝∠CBE，再證ABECBE，即可得到結(jié)論；

（2）易得∠FAC＝∠ABE，從而得＝，設(shè)AE＝x，則BE＝2x，可得AC＝4，BE＝4，作CH⊥AF于點(diǎn)H，易證Rt△ACH∽Rt△BAE，可得HC＝4，AH＝8，由HC∥AB，得＝，進(jìn)而即可求解．

（1）連接EB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB＝90°，

∴BE⊥AC，

∵點(diǎn)E為AD弧的中點(diǎn)，

∴∠ABE＝∠CBE，

在ABE與CBE中，

∵，

∴ABECBE（ASA），

∴BA＝BC；

（2）∵AF為切線(xiàn)，

∴AF⊥AB，

∵∠FAC+∠CAB＝90°，∠CAB+∠ABE＝90°，

∴∠FAC＝∠ABE，

∴tan∠ABE＝tan∠FAC＝，

∵在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，

∴設(shè)AE＝x，則BE＝2x，

∴AB＝x，即x＝10，解得：x＝2，

∴ABECBE，

∴AC＝2AE＝4，BE＝4，

作CH⊥AF于點(diǎn)H，

∵∠HAC＝∠ABE，

∴Rt△ACH∽Rt△BAE，

∴＝＝，即＝＝，

∴HC＝4，AH＝8，

∵HC∥AB，

∴＝，即＝，

解得：FC＝．