Question

若關(guān)于x的方程x²+2mx+m²+3m-2=0有兩個實數(shù)根x₁、x₂，則x₁（x₂+x₁）+x₂²的最小值為

 

．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)的最值

專題：壓軸題,判別式法

分析：由題意可得△=b²-4ac≥0，然后根據(jù)不等式的最小值計算即可得到結(jié)論．

解答：解：由題意知，方程x²+2mx+m²+3m-2=0有兩個實數(shù)根，
則△=b²-4ac=4m²-4（m²+3m-2）=8-12m≥0，
∴m≤

2

3

，
∵x₁（x₂+x₁）+x₂²
=（x₂+x₁）²-x₁x₂
=（-2m）²-（m²+3m-2）
=3m²-3m+2
=3（m²-m+

1

4

-

1

4

）+2
=3（m-

1

2

）² +

5

4

；
∴當(dāng)m=

1

2

時，有最小值

5

4

；
∵

1

2

＜

2

3

，
∴m=

1

2

成立；
∴最小值為

5

4

；
故答案為：

5

4

．

點評：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，考查了一元二次不等式的最值問題．
總結(jié)一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．