Question

在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，其頂點的橫坐標為1，且過點（2，3）和（-3，-12）．
（1）求此二次函數(shù)的表達式；
（2）若直線l：y=kx（k≠0）與線段BC交于點D（不與點B，C重合），則是否存在這樣的直線l，使得△BOD∽△BAC？若存在，求出該直線的函數(shù)表達式及點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線的頂點橫坐標為1，即x=-

b

2a

=1，將已知的兩點坐標代入拋物線中，聯(lián)立三式即可求出拋物線的解析式．
（2）本題要分兩種情況討論：△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，解題思路都是通過相似三角形得出的關(guān)于BD、BC、BO、BA的比例關(guān)系式求出BD的長，然后根據(jù)∠OBC=45°的特殊條件用BD的長求出D點的坐標．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標為1，且過點（2，3）和（-3，-12），
∴由

- b 2a =1 4a+2b+c=3 9a-3b+2=-12

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
∴此二次函數(shù)的表達式為y=-x²+2x+3；

（2）假設(shè)存在直線l：y=kx（k≠0）與線段BC交于點D（不與點B，C重合），使得以B，O，D為頂點的三角形與△BAC相似．
在y=-x²+2x+3中，令y=0，則由-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3
∴A（-1，0），B（3，0）
令x=0，得y=3．
∴C（0，3）．
設(shè)過點O的直線l交BC于點D，過點D作DE⊥x軸于點E．
∵點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，3），點A的坐標為（-1，0）．
∴|AB|=4，|OB|=|OC|=3，∠OBC=45°．
∴|BC|=

32+32

=3

2

．
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，
已有∠B=∠B，則只需

|BD|

|BC|

=

|BO|

|BA|

，①或

|BO|

|BC|

=

|BD|

|BA|

②成立．
若是①，則有|BD|=

|BO|•|BC|

|BA|

=

3×3 2

4

=

9 2

4

．
而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|²+|DE|²=2|BE|²=|BD|²=（

9 2

4

）²
解得|BE|=|DE|=

9

4

（負值舍去）．
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-

9

4

=

3

4

∴點D的坐標為（

3

4

，

9

4

）
將點D的坐標代入y=kx（k≠0）中，求得k=3，
∴滿足條件的直線l的函數(shù)表達式為y=3x，
或求出直線AC的函數(shù)表達式為y=3x+3，則與直線AC平行的直線l的函數(shù)表達式為y=3x，
此時易知△BOD∽△BAC，再求出直線BC的函數(shù)表達式為y=-x+3．聯(lián)立y=3x，y=-x+3求得點D的坐標為（

3

4

，

9

4

），
若是②，則有|BD|=

|BO|•|BA|

|BC|

=

3×4

3 2

=2

2

，
而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|，
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|²+|DE|²=2|BE|²=|BD|²=（2

2

）²
解得|BE|=|DE|=2（負值舍去）
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-2=1．
∴點D的坐標為（1，2）．
將點D的坐標代入y=kx（k≠0）中，求得k=2．
∴滿足條件的直線l的函數(shù)表達式為y=2x．
∴存在直線l：y=3x或y=2x與線段BC交于點D（不與點B，C重合），
使得以B，O，D為頂點的三角形與△BAC相似，且點D的坐標分別為（

3

4

，

9

4

）或（1，2）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定、函數(shù)圖象交點等知識點．綜合性強．