【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,頂點(diǎn)為(4,1)的拋物線交y軸于A點(diǎn),交x軸于B,C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)),已知A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且位于A,C兩點(diǎn)之間,問:當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△PAC的面積最大?并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PAC的最大面積;
(3)過點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D,如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切,請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱軸與有怎樣的位置關(guān)系,并給出證明.
【答案】(1) (2)P點(diǎn)的坐標(biāo)為;(3)相交.證明解解析.
【解析】分析:(1)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),可用頂點(diǎn)式設(shè)拋物線的解析式,然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入其中,即可求出此二次函數(shù)的解析式;
(2)過P作y軸的平行線,交AC于Q;易求得直線AC的解析式,可設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可表示出P、Q的縱坐標(biāo),也就得出了PQ的長(zhǎng);然后根據(jù)三角形面積的計(jì)算方法,可得出關(guān)于的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出的最大面積及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo).
(3)根據(jù)拋物線的解析式,易求得對(duì)稱軸的方程及B、C的坐標(biāo),分別求出直線AB、BD、CE的解析式,再求出CE的長(zhǎng),與到拋物線的對(duì)稱軸的距離相比較即可;
詳解:(1)設(shè)拋物線為
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,3),
∴
∴拋物線為
(2)如圖,過點(diǎn)P作平行于y軸的直線交AC于點(diǎn)Q;
可求出AC的解析式為
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為
則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為
∴
∵
∴當(dāng)m=3時(shí),的面積最大為;
此時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(3)相交.證明:連接CE,則,
當(dāng)時(shí),
A(0,3),B(2,0),C(6,0),
對(duì)稱軸x=4,
∴ ,
∵AB⊥BD,
∴
∴△AOB∽△BEC,
∴
∵
∴拋物線的對(duì)稱軸與⊙C相交.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀思考
我們知道,在數(shù)軸上|a|表示數(shù)a所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,這是絕對(duì)值的幾何意義,由此我們可進(jìn)一步地來研究數(shù)軸上任意兩個(gè)點(diǎn)之間的距離,一般地,如果數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B 對(duì)立的數(shù)用a,b表示,那么這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離AB=|a﹣b|.也可以用兩點(diǎn)中右邊的點(diǎn)所表示數(shù)的減去左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)來計(jì)算,例如:數(shù)軸上P,Q兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是﹣1和2,那么P,Q兩點(diǎn)之間的距離就是 PQ=2﹣(﹣1)=3.
啟發(fā)應(yīng)用
如圖,點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為a,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為b,且a、b滿足|a+3|+(b﹣2)2=0
(1)求線段AB的長(zhǎng);
(2)如圖,點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,且x是方程2x+1=x﹣8的解,
①求線段BC的長(zhǎng);
②在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P使PA+PB=BC?若存在,直接寫出點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù):若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1直角三角板的直角頂點(diǎn)O在直線AB上,OC,OD是三角板的兩條直角邊,射線OE平分∠AOD.
(1)若∠COE=40°,則∠BOD= .
(2)若∠COE=α,求∠BOD(請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示);
(3)當(dāng)三角板繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),其它條件不變,試猜測(cè)∠COE與∠BOD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一根直立的旗桿高8m,因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)C處折斷,頂部B著地且離旗桿底部A4m.
(1)求旗桿距地面多高處折斷;
(2)工人在修復(fù)的過程中,發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)C的下方1.25m的點(diǎn)D處,有一明顯裂痕,若下次大風(fēng)將旗桿從點(diǎn)D處吹斷,則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的危險(xiǎn)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠第一車間有x人,第二車間比第一車間人數(shù)的 少30人,從第二車間調(diào)出y人到第一車間,那么:
(1)調(diào)動(dòng)后,第一車間的人數(shù)為 人;第二車間的人數(shù)為 人.(用x,y的代數(shù)式表示);
(2)求調(diào)動(dòng)后,第一車間的人數(shù)比第二車間的人數(shù)多幾人(用x,y的代數(shù)式表示)?
(3)如果第一車間從第二車間調(diào)入的人數(shù),是原來調(diào)入的10倍,則第一車間人數(shù)將達(dá)到360人,求實(shí)際調(diào)動(dòng)后,(2)題中的具體人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,有下列5個(gè)結(jié)論:①abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b<m (am+b)(m≠1的實(shí)數(shù)).其中正確結(jié)論的有( 。
A. ①②③ B. ①③④ C. ③④⑤ D. ②③⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】連接多邊形任意兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的線段稱為多邊形的對(duì)角線.
(1)
對(duì)角線條數(shù)分別為 、 、 、 .
(2)n邊形可以有20條對(duì)角線嗎?如果可以,求邊數(shù)n的值;如果不可以,請(qǐng)說明理由.
(3)若一個(gè)n邊形的內(nèi)角和為1800°,求它對(duì)角線的條數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中華文明,源遠(yuǎn)流長(zhǎng);中華漢字,寓意深廣.為傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校團(tuán)委組織了一次全校3000名學(xué)生參加的“漢字聽寫”大賽.為了解本次大賽的成績(jī),校團(tuán)委隨機(jī)抽取了其中200名學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:
根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)m= ,n= ;
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)這200名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)會(huì)落在 分?jǐn)?shù)段;
(4)若成績(jī)?cè)?0分以上(包括90分)為“優(yōu)”等,請(qǐng)你估計(jì)該校參加本次比賽的3000名學(xué)生中成績(jī)是“優(yōu)”等的約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=kx+m的圖象相交于點(diǎn)A(2,1).
(1)分別求出這兩個(gè)函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)x取什么范圍時(shí),反比例函數(shù)值大于0;
(3)若一次函數(shù)與反比例函數(shù)另一交點(diǎn)為B,且縱坐標(biāo)為﹣4,當(dāng)x取什么范圍時(shí),反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)的值;
(4)試判斷點(diǎn)P(﹣1,5)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′是否在一次函數(shù)y=kx+m的圖象上.
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