Question

【題目】如圖，拋物線L：y=﹣ （x﹣t）（x﹣t+4）（常數(shù)t＞0）與x軸從左到右的交點(diǎn)為B，A，過線段OA的中點(diǎn)M作MP⊥x軸，交雙曲線y= （k＞0，x＞0）于點(diǎn)P，且OAMP=12．

（1）求k的值；
（2）當(dāng)t=1時(shí)，求AB長(zhǎng)，并求直線MP與L對(duì)稱軸之間的距離；
（3）把L在直線MP左側(cè)部分的圖象（含與直線MP的交點(diǎn)）記為G，用t表示圖象G最高點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)P（x，y）則MP=y，

∵M(jìn)為OA的中點(diǎn)，

∴OA=2x，

∵OAMP=12，

∴2xy=12，

∴xy=6，

∴k=6

（2）

解：當(dāng)t=1，y=0時(shí)，0=﹣ （x﹣1）（x﹣1+4），解得x=1或x=﹣3，

∴A（1，0）、B（﹣3，0），

∴AB=4；

∴拋物線L的對(duì)稱軸為直線x= =﹣1，

∵OA=1，

∴MP為直線x= ，

∴直線MP與L對(duì)稱軸之間的距離為

（3）

解：在y=﹣ （x﹣t）（x﹣t+4）中，令y=0可得﹣ （x﹣t）（x﹣t+4）=0，解得x=t或x=t﹣4，

∴A（t，0），B（t﹣4，0），

∴拋物線L的對(duì)稱軸為直線x= =t﹣2，

又∵M(jìn)P為直線x= ，

∴當(dāng)拋物線L的頂點(diǎn)在直線MP上或左側(cè)時(shí)，即t﹣2≤ 時(shí)，解得t≤4，此時(shí)，頂點(diǎn)（t﹣2，2）為圖象G最高點(diǎn)的坐標(biāo)；

當(dāng)拋物線L的頂點(diǎn)在直線MP右側(cè)時(shí)，即t﹣2＞ 時(shí)，解得t＞4，此時(shí)時(shí)，交點(diǎn)直線MP與拋物線L的交點(diǎn)為（ ，﹣ t2+t），為圖象G最高點(diǎn)的坐標(biāo)

【解析】（1）設(shè)P（x，y），則可表示出MP，由M為OA的中點(diǎn)，可求得OA，由條件可求得xy，則可求得k的值；（2）把t=1，代入拋物線解析式，令y=0可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得AB的長(zhǎng)，再求得拋物線的對(duì)稱軸和直線MP的方程，可求得直線MP與對(duì)稱軸之間的距離；（3）可用t表示出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步可表示出直線MP的解析式，再根據(jù)頂點(diǎn)的位置可求得其最大值，可表示出G的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解反比例函數(shù)的概念的相關(guān)知識(shí)，掌握形如y＝k/x（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)．自變量x的取值范圍是x不等于0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)，以及對(duì)反比例函數(shù)的圖象的理解，了解反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．有兩條對(duì)稱軸：直線y=x和 y=-x．對(duì)稱中心是：原點(diǎn)．