Question

【題目】如圖，已知直線y＝﹣2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，拋物線過(guò)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D．

（1）若拋物線的解析式為y＝﹣2x2+2x+4，設(shè)其頂點(diǎn)為M，其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N．

①求點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；

②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

③是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形？并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①N（，3）；②Q（，6）；③不存在，理由見(jiàn)解析；（4）y＝﹣2x2+2x+4或y＝﹣x2+3x+4．

【解析】

（1）①函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=-=，故點(diǎn)M（，），即可求解；

②設(shè)拋物線與x軸左側(cè)的交點(diǎn)為R（-1，0），則點(diǎn)A與R關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，連接RB并延長(zhǎng)交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q為所求，即可求解；

③四邊形MNPD為菱形，首先PD=MN，即（-2x2+2x+4）-（-2x+4）=，解得：x=或（舍去），故點(diǎn)P（，1），而PN==≠M(fèi)N，即可求解；

（2）分∠DBP為直角、∠BDP為直角兩種情況，分別求解即可．

（1）①函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝﹣＝，故點(diǎn)M（，），

當(dāng)x＝時(shí)，y＝﹣2x+4＝3，故點(diǎn)N（，3）；

②設(shè)拋物線與x軸左側(cè)的交點(diǎn)為R（﹣1，0），則點(diǎn)A與R關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

連接RB并延長(zhǎng)交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q為所求，

將R、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b并解得：

直線RB的表達(dá)式為：y＝4x+4，

當(dāng)x＝時(shí)，y＝6，

故點(diǎn)Q（，6）；

③不存在，理由：

設(shè)點(diǎn)P（x，﹣2x+4），則點(diǎn)D（x，﹣2x2+2x+4），

MN＝﹣3＝，

四邊形MNPD為菱形，首先PD＝MN，

即（﹣2x2+2x+4）﹣（﹣2x+4）＝，解得：x＝或（舍去），

故點(diǎn)P（，1），而PN＝=≠M(fèi)N，

故不存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形；

（2）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時(shí)，則其坐標(biāo)為：（1，2），此時(shí)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（2，0）、（0，4），

①當(dāng)∠DBP為直角時(shí)，以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，

則∠BAO＝∠BDP＝α，tan∠BAO＝＝2＝tanα，則sinα＝，

PA＝，PB＝AB﹣PA＝2﹣＝，

則PD＝＝，故點(diǎn)D（1，）；

②當(dāng)∠BDP為直角時(shí)，以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，

則BD∥x軸，則點(diǎn)B、D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，故點(diǎn)D（1，4），

綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（1，4）或（1，），

將點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：y＝ax2+bx+c，

解得：y＝﹣2x2+2x+4或y＝﹣x2+3x+4．