Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線a與x軸的正半軸的夾角為α，且sinα=

3

5

，A（0，4），動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、O點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是每分鐘1個(gè)單位，終點(diǎn)是O，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是每分鐘2個(gè)單位，沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t分鐘．
（1）求直線a的解析式；
（2）當(dāng)t為多少分鐘時(shí)，PQ⊥a；
（3）過(guò)P作PM∥x軸交直線a于M．①設(shè)△MQO的面積為S，試寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系，并求出當(dāng)s=3時(shí)，t的值；②在P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，你能猜想△MOQ為等腰三角形有多少種情況？并選擇兩種你認(rèn)為簡(jiǎn)單的情況求出t的值．

Answer 1

分析：（1）由sinα=

3

5

，即可得tanα=

3

4

，則可求得直線a的解析式；
（2）由直線a⊥PQ，PO⊥OQ，可求得∠OPQ=α，又由題意可得OQ=2t，OP=4-t，則可得方程tanα=

2t

4-t

=

3

4

，解此方程即可求得答案；
（3）①由OP=4-t，OQ=2t，即可得S=

1

2

•2t（4-t）=-t²+4t，又由S=3，得方程-t²+4t=3，解此方程即可求得t的值；
②首先過(guò)M作MN⊥x軸于N，則MN=OP=4-t，然后分別從OM=QM，OM=OQ，OQ=QM去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵sinα=

3

5

，
∴tanα=

3

4

，
∴直線a的解析式為：y=

3

4

x；

（2）∵直線a⊥PQ，PO⊥OQ，
∴∠OPQ+∠OQP=90°，∠OQP+α=90°，
∴∠OPQ=α，
根據(jù)題意得：OQ=2t，OP=4-t，
∴tanα=

2t

4-t

=

3

4

，
解得：t=

12

11

，
∴當(dāng)t為

12

11

分鐘時(shí)，PQ⊥a；

（3）①∵OP=4-t，OQ=2t，
∴S=

1

2

•2t（4-t）=-t²+4t（0＜t＜4），
當(dāng)S=3時(shí)，即-t²+4t=3，
解得：t=3或t=1；

②有三種情況．
過(guò)M作MN⊥x軸于N，則MN=OP=4-t，
當(dāng)OM=QM時(shí)，ON=NQ=t，
∴tanα=

3

4

=

4-t

t

，
∴t=

16

7

；
當(dāng)OM=OQ，OM=2t，
∴sinα=

MN

OM

=

4-t

2t

=

3

5

，
解得：t=

20

11

；
當(dāng)OQ=MQ時(shí)，MQ=OQ=2t，
∵ON=

MN

tanα

=

16-4t

3

，
QN=2t-

16-4t

3

，
∵QM²=QN²+MN²，
∴（2t）²=（2t-

16-4t

3

）²+（4-t）²，
解得：t=

100

73

．
∴△MOQ為等腰三角形有3種情況，分別為t=

16

7

或t=

20

11

或t=

100

73

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式、三角形的面積問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想與方程思想的應(yīng)用．