Question

3．如圖，矩形OABC的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，且k＞0）的圖象在第一象限與BC、AB分別交于點(diǎn)M、N，直線MN與y軸交于點(diǎn)D，若$\frac{DM}{DN}=\frac{1}{4}$，記△BMN的面積為s₁，△OMN的面積為s₂，則$\frac{s_1}{s_2}$的值是$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 連接OB．首先根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，得出S_△AON=S_△COM=$\frac{1}{2}$k，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理得出$\frac{CM}{BM}$=$\frac{DM}{MN}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{BM}{BC}$=$\frac{3}{4}$，從而求得S_△BOM=3S_△COM=$\frac{3}{2}$k，S_△BOC=S_△AOB=$\frac{1}{2}$k+$\frac{3}{2}$k=2k，進(jìn)一步求得S₁=$\frac{9}{32}$×2S_△BOC=$\frac{9}{32}$×4k=$\frac{9}{8}$k，最后由S_△OMN=S_矩形AOCB-S_△AON-S_△COM-S_△BMN=4k-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$k-$\frac{9}{8}$k=$\frac{15}{8}$k得出結(jié)果．

解答 解：連接OB．
∵M(jìn)、N是反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，且k＞0）的圖象上的點(diǎn)，EA⊥x軸于A，F(xiàn)C⊥y軸于C，
∴S_△AON=S_△COM=$\frac{1}{2}$k．
∵$\frac{DM}{DN}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{DM}{MN}$=$\frac{1}{3}$，
∵AB∥OD，
∴$\frac{CM}{BM}$=$\frac{DM}{MN}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BM}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴S_△BOM=3S_△COM=$\frac{3}{2}$k，
∴S_△BOC=S_△AOB=$\frac{1}{2}$k+$\frac{3}{2}$k=2k，
∴S_△BON=S_△BOC-S_△AON=2k-$\frac{1}{2}$k=$\frac{3}{2}$k，S_矩形=4k，
∴$\frac{AN}{BN}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BN}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{BM•BN}{BC•AB}$=$\frac{9}{16}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}BM•BN}{BC•AB}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{BM•BN}{BC•AB}$=$\frac{9}{32}$，
∴$\frac{{s}_{1}}{{s}_{矩形ABCD}}$=$\frac{9}{32}$，
∴S₁=$\frac{9}{32}$×2S_△BOC=$\frac{9}{32}$×4k=$\frac{9}{8}$k，
∵S_△OMN=S_矩形AOCB-S_△AON-S_△COM-S_△BMN=4k-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$k-$\frac{9}{8}$k=$\frac{15}{8}$k．
∴$\frac{s_1}{s_2}$=$\frac{\frac{9k}{8}}{\frac{15k}{8}}$=$\frac{3}{5}$．
故答案是：$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評 本題是反比例函數(shù)的綜合題，主要考查反比例函數(shù)的比例系數(shù)k與其圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系，即S=$\frac{1}{2}$|k|．得出$\frac{AN}{BN}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{BN}{AB}$=$\frac{3}{4}$，是解決本題的關(guān)鍵．