Question

科學(xué)研究表明，合理安排各學(xué)科的課外學(xué)習(xí)時間，可以有效的提高學(xué)習(xí)的效率．教育專家們通過對九年級學(xué)生的課外學(xué)習(xí)時間與學(xué)習(xí)收益情況進行進一步的研究發(fā)現(xiàn)，九年級學(xué)生每天課外用于非數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)時間t（小時）與學(xué)習(xí)收益量y₁的函數(shù)關(guān)系是圖①中的一條折線；每天用于數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)時間t（小時）與學(xué)習(xí)收益量y₂的函數(shù)關(guān)系如圖②所示：圖象中OA是頂點為A的拋物線的一部分，AB是射線．

（1）求出y₁與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量t的取值范圍；
（2）求出y₂與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量t的取值范圍；
（3）如果九年級學(xué)生每天課外學(xué)習(xí)的時間為2小時，學(xué)習(xí)的總收益量為W（W=y₁+y₂），請問應(yīng)如何安排學(xué)習(xí)時間才能使學(xué)習(xí)的總收益量最大？

Answer 1

分析：（1）由圖以及t的取值范圍，設(shè)直線解析式為y=kx以及y=ax+b利用圖象上點的坐標，即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用分段函數(shù)的知識，需要注意的是x的取值范圍依照分段函數(shù)的解法求拋物線解析式和直線解析式解出即可；
（3）根據(jù)W=y₁+y₂，分別根據(jù)二次函數(shù)最值求法以及t的取值范圍求出即可．

解答：解：（1）當0≤t≤1.5時，設(shè)y₁=at，則45=1.5a，
解得：a=30，
∴y₁=30t，
當1.5≤t時，設(shè)y₁=bt+c，則

1.5b+c=45 2b+c=55

，
解得：

b=20 c=15

∴y₁=20t+15，
故y₁=

30t(0≤t≤1.5) 20t+15(t≥1.5)

；

（2）當0≤t≤1時，由圖象可得出，拋物線頂點坐標為（1，90），且過點（0，0），
設(shè)y₂=a（t-1）²+90，
將（0，0）代入得出：a=-90，
∴y₂=-90（t-1）²+90=-90t²+180t，
當1≤t時，設(shè)y₂=kt+d，則

k+d=90 2k+d=100

，
解得：

k=10 d=80

，
∴y₂=10t+80，
故y₂=

-90t2+180t(0≤t≤1) 10t+80(t≥1)

；

（3）設(shè)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時間為t，根據(jù)題意得：
①當0≤t≤0.5時：w=20（2-t）+15-90t²+180t=-90（t-

8

9

）²+126

1

9

，當t=0.5時，w_最大=112.5，
②當0.5≤t≤1時：w=30（2-t）+-90t²+180t=-90（t-

5

6

）²+122.5，當t=

5

6

時，w_最大=122.5，
③當1≤t≤2時：w=30（2-t）+10t+80=-20t+140，當t=1時，w_最大=120．
綜上所得，應(yīng)安排

5

6

小時用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，

7

6

小時用于非數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)，才能使學(xué)習(xí)的總收益量最大．

點評：此題主要考查了函數(shù)定義、性質(zhì)以及在實際問題中的應(yīng)用等，利用自變量的取值范圍進行分段討論得出是解題關(guān)鍵．