Question

如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=18cm，CB=8cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以4cm/秒的速度由A-B-C-D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/秒的速度由B-C-D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q中的某一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)D時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=

 

秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合．
（2）試用含t的式子表示△APQ的面積（注明相應(yīng)的t的取值范圍）．
（3）求出△APQ是以AP斜邊的直角三角形時(shí)的t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,矩形的性質(zhì)

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）設(shè)t秒時(shí)，P與Q重合，根據(jù)題意列出方程4t=2t+18，求出方程的解即可確定出t的值；
（2）分邊討論面積，有五種情況．
（3）當(dāng)PB²=PC²+CQ²時(shí)，即PB=PQ時(shí)△PQA是以AP為斜邊的直角三角形，利用勾股定理即可求得．

解答：解；（1）9，
根據(jù)題意列出方程4t=2t+18，
解得：t=9，
故答案為9．

（2）分邊討論面積，
當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所需要的時(shí)間為：18÷4=4.5s，
當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所需要的時(shí)間為：26÷4=6.5s，
當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所需要的時(shí)間為：44÷4=11s，
當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所需要的時(shí)間為：8÷2=4s，
當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所需要的時(shí)間為：26÷2=13s，
0～4s，P點(diǎn)在AB上，Q點(diǎn)在BC上，△APQ的面積為：

1

2

•4t•2t=4t²（0≤t＜4）；
4s～4.5s，P點(diǎn)在AB上，Q點(diǎn)在CD上，△APQ的面積為：

1

2

•4t•8=16t（4≤t＜4.5）；
4.5s～6.5s，P點(diǎn)在BC上，Q點(diǎn)在CD上，△APQ的面積為：18×8-

1

2

（4t-18）×18-

1

2

（2t-8）（26-4t）-

1

2

（26-2t）×8=4t²-70t+306（4.5≤t＜6.5）；
6.5s～9s，P點(diǎn)在CD上，Q點(diǎn)在CD上，△APQ的面積為：

1

2

（2t+18-4t）×8=72-8t（6.5≤t＜9）；
9s～11s，P點(diǎn)在CD上，Q點(diǎn)在CD上，△APQ的面積為：

1

2

（4t-18-2t）×8=8t-72（9≤t≤11）；


（3）如圖，當(dāng)PB²=PC²+CQ²時(shí)，即PB=PQ時(shí)△PQA是以AP為斜邊的直角三角形，
則（4t-18）²=（26-4t）²+（2t-8）²，
整理得；t²-24t+106=0，
解得；t=6，t=18（舍去），
∴△APQ是以AP斜邊的直角三角形時(shí)的t的值為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，利用分類討論的思想來解決問題是本題的關(guān)鍵．