Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1．下列結論： ①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④ ＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正確結論的選項是（ ）

A.①③
B.①③④
C.②④⑤
D.①③④⑤

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①∵函數開口方向向上， ∴a＞0；
∵對稱軸在y軸右側
∴ab異號，
∵拋物線與y軸交點在y軸負半軸，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正確；
②∵圖象與x軸交于點A（﹣1，0），對稱軸為直線x=1，
∴圖象與x軸的另一個交點為（3，0），
∴當x=2時，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②錯誤；
③∵圖象與x軸交于點A（﹣1，0），
∴當x=﹣1時，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，
∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，
∵對稱軸為直線x=1
∴ =1，即b=﹣2a，
∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，
∴4ac﹣b2=4a（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0
∵8a＞0
∴4ac﹣b2＜8a
故③正確
④∵圖象與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴ ＞a＞ ；
故④正確
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正確；
故選：D．
根據對稱軸為直線x=1及圖象開口向下可判斷出a、b、c的符號，從而判斷①；根據對稱軸得到函數圖象經過（3，0），則得②的判斷；根據圖象經過（﹣1，0）可得到a、b、c之間的關系，從而對②⑤作判斷；從圖象與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間可以判斷c的大小得出④的正誤．