Question

12．如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸的一個交點(diǎn)為A（-1，0），對稱軸為直線x=1．
（1）求該拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)對稱軸交x軸于點(diǎn)M，連接AC，CM，請在x軸的正半軸上找一點(diǎn)D，使△ACM與△CMD相似但不全等，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的對稱軸求出b，代入點(diǎn)A求出c即可；
（2）根據(jù)題意分析出點(diǎn)D應(yīng)在M右側(cè)，且MD和CM是對應(yīng)邊即可求解．

解答 解：（1）拋物線y=-x²+bx+c，對稱軸為直線x=1，
可得：$\frac{2}$=1，
解得：b=2，
把A（-1，0）代入：y=-x²+2x+c，
解得：c=3，
∴y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)C（1，4）；
（2）由x軸的正半軸上一點(diǎn)D，使△ACM與△CMD相似但不全等，
可知點(diǎn)D應(yīng)在M右側(cè)，且MD和CM是對應(yīng)邊；
如圖1，

設(shè)點(diǎn)D（m，0），
則DM=m-1，CM=4，AM=2，
∵△ACM∽△CDM，
∴$\frac{AM}{CM}=\frac{CM}{DM}$，
∴$\frac{2}{4}=\frac{4}{DM}$，
解得：DM=8，
∴D（9，0）．

點(diǎn)評 此題主要考查拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，會運(yùn)用對稱軸和圖象上的點(diǎn)求拋物線解析式，會合理分析相似三角形求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．