Question

15．如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點為C（1，4），且與y軸交于點D（0，3），與x軸交于A、B兩點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若直線BD的解析式為y=mx+n，請直接寫出不等式ax²+bx+c＞mx+n的解集；
（3）在第一象限的拋物線上是否存在一個點P，使得四邊形ABPD的面積等于10？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的頂點式，代入D的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；
（2）根據(jù)（1）求得的解析式，令y=0，求得A、B的坐標(biāo)，根據(jù)圖象即可求得；
（3）假設(shè)存在一個點P，使得四邊形ABPD的面積等于10，求得直線BD的解析式，過P點作PE⊥AB于E，交DB于F，設(shè)P（x，-x²+2x+3），則F（x，-x+3），求得PF，然后根據(jù)S_△BPD=S_△PDF+S_△PFB=4，得到關(guān)于x的方程，解方程即可判斷不存在x的值使方程成立，即可判定不存在這樣的P點，使得四邊形ABPD的面積等于10．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+4，
代入D（0，3）得，3=a（0-1）²+4，解得a=-1，
∴y=-（x-1）²+4，
即此拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）令y=0，則-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵D（0，3），
∴不等式ax²+bx+c＞mx+n的解集為：0＜x＜3；
（3）不存在，
理由：假設(shè)存在一個點P，使得四邊形ABPD的面積等于10，
∵A（-1，0），B（3，0），D（0，3），
∴AB=4，OD=3，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•OD=6，
∵四邊形ABPD的面積等于10，
∴S_△BPD=10-6=4，
把B、D的坐標(biāo)代入y=mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為y=-x+3，
過P點作PE⊥AB于E，交DB于F，如圖，
設(shè)P（x，-x²+2x+3），在F（x，-x+3），
∴CF=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x，
∴S_△BPD=S_△PDF+S_△PFB=$\frac{1}{2}$x（-x²+3x）+$\frac{1}{2}$（-x²+3x）•（3-x）=4，
整理得，3x²-9x+8=0，
∵△=（-9）²-4×3×8＜0，
∴不存在這樣的P點，使得四邊形ABPD的面積等于10．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)和不等式的關(guān)系以及四邊形的面積等，（3）作出輔助線，把三角形分割成兩個三角形是解題的關(guān)鍵．